Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(1+1)-y, y(0)=1+2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem y' = (1+1) - y com condição y(0) = 1 + 2. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos 1+1 e reescrevemos a equação na forma padrão: y' = 2 - y que equivale a y' + y = 2.
Identificamos o coeficiente da função y como p(t) = 1 e o termo não homogêneo como g(t) = 2. Calculamos o fator integrante.
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 3

Multiplicando por mu(t) temos:
e^t y' + e^t y = 2 e^t
Reconhecemos que o lado esquerdo é:
ddtl(e^t yr) = 2 e^t
Integramos ambos os lados e obtemos:
e^t y = 2 e^t + C

Passo 4

Isolamos y dividindo por e^t. Assim:
y(t) = 2 + C e^-t

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0) = 3. Substituindo:
3 = 2 + C e^0
Logo C = 1.

Resposta

y(t) = 2 + e^-t

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