Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (3+1)

Passo 1

Temos o PVI com equação diferencial de variáveis separáveis e condição inicial:
Temos
y'=e^-y,t, y(0)=ln(3+1)=ln4
O que precisamos é separar variáveis e depois integrar cada lado.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por e^y e por dt. Assim obtemos a forma:
e^y,dy = t,dt
Isso nos permite integrar cada variável de forma independente.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^y,dy = integral t,dt
O que resulta em
e^y = t^22 + C,
pois integral e^y dy = e^y e integral t dt = t^2/2.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=ln4. Substituindo t=0 e y=ln4 em e^y = t^2/2 + C temos:
e^ln4 = 4 = 0^22 + C = C
Logo C=4.

Passo 5

Substituímos C=4 na solução geral e isolamos y. Primeiro:
e^y = t^22 + 4
Aplicando ln em ambos os lados:
y(t) = lnl(t^22 + 4r)

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+4\bigr)

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