Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-3) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem x'(t) + (10-3)x(t) = 2e^4t com condição inicial x(0)=0. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Repare que 10-3=7, então a equação fica x'+7x=2e^4t. Para resolver uma EDO da forma x'+p x=q(t) usamos o fator integrante mu(t)=e^integral p,dt.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(t)=e^integral 7,dt=e^7t
Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^7tx'+7e^7tx=2e^4te^7t=2e^11t

Passo 4

O lado esquerdo agora é a derivada do produto e^7tx(t). Então temos:
ddtl(e^7tx(t)r)=2e^11t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^7tx(t)=2integral e^11t,dt=2cdot 111e^11t+C=211e^11t+C

Passo 6

Isolamos x(t):
x(t)=e^-7tl(211e^11t+Cr)=211e^4t+Ce^-7t

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x(0)=0:
0=x(0)=211e^0+Ccdot e^0=211+Cimplies C=-211

Resposta

A solução do PVI é
x(t)=211l(e^4t-e^-7tr)

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