Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=13+1

Passo 1

O enunciado é um PVI de equação diferencial de primeira ordem separável: temos
y'+y^2sin t=0 com condição inicial y(0)=tfrac13+1=tfrac14.

Passo 2

Reescrevendo a derivada, fica
dydt=-y^2sin t
e então a separação de variáveis é
dyy^2=-sin t,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy=integral -sin t,dt
O lado esquerdo dá -1/y e o direito dá cos t+C, resultando em
-1y=cos t+C.

Passo 4

Multiplicando por -1 e renomeando a constante, obtemos
1y=-cos t+C'Longrightarrow y=1C'-cos t

Passo 5

Para achar C', usamos t=0 e y(0)=1/4:
4=1y(0)=-cos0+C'=-1+C'
Logo C'=5.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de y, a solução do PVI é
y(t)=15-cos t

Resposta

y(t)=1/(5-\cos t)

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