Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (4+1)

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI com equação diferencial de primeira ordem dada por y′=e^{−y} e condição inicial y(0)=ln(4+1). O conteúdo aqui é equação diferencial separável, então vamos usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a derivada como fracção para separar variáveis: y′=\frac{dy}{dt}. Assim temos \frac{dy}{dt}=e^{−y} .

Passo 3

Agora separamos variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro:
e^y,dy = t,dt

Passo 4

Isso nos permite integrar ambos os lados:
integral e^y,dy = integral t,dt

Passo 5

Calculando as integrais obtemos:
e^y = t^22 + C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=ln(5) para achar C. Substituindo t=0 e y=ln(5) dá:
e^ln(5) = 5 = 0^22 + C implies C = 5

Passo 7

Com C em mãos, escrevemos a solução implícita e depois isolamos y:
e^y = t^22 + 5 Longrightarrow y = lnl(t^22 + 5r)

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+5\bigr)

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