Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
A questão pede para resolver o PVI com equação diferencial de primeira ordem dada por y′=e^{−y} e condição inicial y(0)=ln(4+1). O conteúdo aqui é equação diferencial separável, então vamos usar a técnica de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a derivada como fracção para separar variáveis: y′=\frac{dy}{dt}. Assim temos \frac{dy}{dt}=e^{−y} .
Passo 3
Agora separamos variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro:
Passo 4
Isso nos permite integrar ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais obtemos:
Passo 6
Usamos a condição inicial y(0)=ln(5) para achar C. Substituindo t=0 e y=ln(5) dá:
Passo 7
Com C em mãos, escrevemos a solução implícita e depois isolamos y:
Resposta
y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+5\bigr)