Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-3

Passo 1

Estamos resolvendo o PVI dado por
y' - yt+1 = 2t + 2,
com condição inicial y(1)=5-3=2. O assunto aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos precisar usar fator integrante para transformá-la numa derivada exata.

Passo 2

Identificamos na forma padrão y' + P(t)y = Q(t) que
P(t) = -1t+1,
Q(t) = 2t + 2
O fator integrante é
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral -1t+1dt=e^-ln|t+1|=1t+1

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) para obter uma derivada exata:
1t+1y' - 1(t+1)^2y = 2t+2t+1
O lado esquerdo é
ddtl(yt+1r)
e o lado direito simplifica para 2. Então
ddtl(yt+1r)=2
Integrando,
yt+1=2t+C
Logo a solução geral é
y=(t+1)(2t+C)

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2=(1+1)(2cdot1+C)=2(2+C)implies4+2C=2implies C=-1
Substituindo de volta, a solução particular fica
y(t)= (t+1)(2t-1)=2t^2+t-1

Resposta

y(t)=2t^2+t-1

Exercícios relacionados