Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(4+1)-y, y(0)=3+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por y'= (4+1)-y com condição inicial y(0)=3+2. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos os termos constantes: 4+1=5 e 3+2=5, de modo que a EDO fica y'=5-y. Reescrevendo em forma padrão temos: y'+y=5

Passo 3

Para EDOs na forma y'+p(x),y=q(x), calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx. Aqui p(x)=1, então mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por mu(x)=e^x:
e^x y' + e^x y = 5e^x
O lado esquerdo é derivada de e^x y, ou seja,
ddxl(e^x yr)=5e^x

Passo 5

Integrando em ambos os lados:
e^x y=5integral e^x,dx=5e^x+C,
e, portanto, isolando y:
y=5+Ce^-x

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=5, obtemos 5+Ccdot e^0=5, logo C=0.
Assim a solução particular do PVI é a constante y(x)=5.

Resposta

y(x)=5

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