Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=15+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
y' + y^2 ,sin t = 0, y(0)=tfrac15+1
Este PVI é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e do tipo separável, então vamos usar separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevemos a equação como y' = -y^2 ,sin t e, trocando y' por tfracdydt, obtemos
dydt = -y^2 ,sin t
Agora separamos as variáveis: colocamos todos os termos em y de um lado e os termos em t do outro:
dyy^2 = -sin t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral y^-2dy = -y^-1 e do lado direito integral -sin t,dt = cos t + C. Assim:
-1y = cos t + C

Passo 4

Isolamos 1/y. Multiplicando por -1 e definindo C1 = -C, obtemos
$$\frac{1}{y} = C_1 - \cos t.
1y = C1 - cos t y = \frac{1}{C_1 - \cos t}.$$

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac15+1=tfrac16. Para t=0, temos cos0=1, então
1y(0) = 6 = C1 - 1 Longrightarrow C1 = 7

Resposta

y(t)=17 - cos t

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