Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=11+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'+y^2sin t=0 com y(0)=tfrac12. Isso é uma EDO de primeiro ordem e variável separável, então vamos usar o método de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos y'+y^2sin t=0, ou seja, dydt=-y^2sin t. Agora separamos as variáveis juntando todos os termos em y de um lado e t do outro:
dyy^2=-sin t,dt

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo usamos integral y^-2dy=-y^-1+C1 e no direito integral -sin t,dt=cos t+C2. Podemos juntar as constantes numa só, chamando de C. Assim:
-1y=cos t+C

Passo 4

Isolando 1/y, obtemos
1y=-cos t -C = C' -cos t,
onde C'=-C. Para achar C', usamos y(0)=tfrac12:
1y(0)=2 = C' - cos0 = C' -1,
logo C'=3.

Passo 5

Substituindo C'=3 na expressão de 1/y e invertendo, chegamos à solução explícita:
y(t)=13-cos t

Resposta

y(t)=13-cos t

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