Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
No enunciado, temos o PVI com
y’ = (4+1) - y = 5 - y
e condição y(0) = 4+2 = 6. O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
y’ = (4+1) - y = 5 - y
e condição y(0) = 4+2 = 6. O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
Aqui identificamos p(x)=1 e g(x)=5. Essa forma é fundamental para aplicar o fator integrante.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Esse fator transforma o lado esquerdo da equação na derivada de um produto.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é
Logo, integrando ambos os lados:
Daí a solução geral:
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=6:
Assim, a solução particular do PVI é obtida substituindo C:
Passo 6
Substituindo C=1 na solução geral, concluímos que
Resposta
y(x) = 5 + e^{-x}