Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(4+1)-y, y(0)=4+2

Passo 1

No enunciado, temos o PVI com
y’ = (4+1) - y = 5 - y
e condição y(0) = 4+2 = 6. O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y' + y = 5
Aqui identificamos p(x)=1 e g(x)=5. Essa forma é fundamental para aplicar o fator integrante.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Esse fator transforma o lado esquerdo da equação na derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^x:
e^x y' + e^x y = 5e^x
O lado esquerdo é
ddx(e^x y) = e^x y' + e^x y
Logo, integrando ambos os lados:
e^x y = integral 5e^x,dx = 5e^x + C
Daí a solução geral:
y = 5 + C e^-x

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=6:
y(0) = 5 + C e^0 = 5 + C = 6 implies C = 1
Assim, a solução particular do PVI é obtida substituindo C:

Passo 6

Substituindo C=1 na solução geral, concluímos que
y(x) = 5 + e^-x

Resposta

y(x) = 5 + e^{-x}

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