Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=14+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
y'+y^2,sin t=0, y(0)=14+1
Este é um problema de equação diferencial de variáveis separáveis: vamos separar y e t e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y'=-y^2,sin t
Escrevendo y'=dydt, separamos as variáveis:
1y^2,dy=-sin t,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral1y^2,dy=integral-sin t,dt
No lado esquerdo, integral y^-2dy=-y^-1+C1=-1y+C1. No direito, integral-sin t,dt=cos t+C2. Podemos juntar as constantes numa só C:
-1y=cos t+C

Passo 4

Isolamos 1/y:
1y=-cos t - C
e definimos C'=-C, ficando
1y=C'-cos t

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1/5:
1y(0)=5=C'-cos0= C'-1
logo C'=6. Substituindo de volta,
1y=6-cos t

Resposta

y(t)=16-cos t

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