Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-4) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI x'(t) + (10-4)x(t) = 2e^4t, ; x(0)=0. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x como 10-4=6, então o fator integrante é dado por
mu(t)=expl(integral 6,dtr)=e^6t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e vemos que o lado esquerdo vira derivada de produto:
e^6tx'(t)+6e^6tx(t)=ddtl(e^6tx(t)r)
O lado direito fica
e^6tcdot2e^4t=2e^10t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral dl(e^6tx(t)r)=integral 2e^10t,dt
Isso dá
e^6tx(t)=210e^10t+C=15e^10t+C

Passo 5

Isolamos x(t):
x(t)=15e^4t+Ce^-6t

Passo 6

Aplicando a condição inicial x(0)=0 temos
0=15+CRightarrow C=-15
Portanto a solução é
x(t)=15e^4t-15e^-6t=15l(e^4t-e^-6tr)

Resposta

x(t)=\frac{1}{5}\bigl(e{4t}-e{-6t}\bigr)

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