Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
, com condição inicial
. É uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma padrão
. Aqui temos
logo
O fator integrante é
$$\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr) = \exp\Bigl(-\int\frac{1}{t+1},dt\Bigr) = e^{-\ln(t+1)} = \frac{1}{t+1}.
$$
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Usamos a condição inicial
em
. Para
e
vem
$$0/(1+1)=2\cdot1 + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2.
Resposta
y(t) = 2t^2 - 2