Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y' - yt+1 = 2t+2, com condição inicial y(1)=5-5=0. É uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão y' + P(t)y = Q(t). Aqui temos
y' - 1t+1y = 2t+2,
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P(t) = -1t+1, Q(t)=2t+2
O fator integrante é
$$\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr) = \exp\Bigl(-\int\frac{1}{t+1},dt\Bigr) = e^{-\ln(t+1)} = \frac{1}{t+1}.
$$

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=1/(t+1). Isso dá
y't+1 - y(t+1)^2 = 2t+2t+1 = 2
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto yt+1:
ddtl(yt+1r) = 2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1 = integral 2,dt = 2t + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=0 em yt+1=2t+C. Para t=1 e y=0 vem
$$0/(1+1)=2\cdot1 + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2.
0/(1+1)=2cdot1 + C implies 0 = 2 + C implies C = -2 çãy = (t+1)(2t - 2) = 2t^2 - 2.$$

Resposta

y(t) = 2t^2 - 2

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