Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(5+1)-y, y(0)=5+2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y' = 6 - y, y(0)=7
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma ED linear:
y' + y = 6,
identificando P(t)=1 e Q(t)=6.

Passo 3

Calculamos o fator integrante usando
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados de y' + y = 6 por mu(t)=e^t e reescrevemos o lado esquerdo como derivada de produto:
(e^ty)' = 6e^t
Em seguida, integramos em relação a t:
e^ty = 6e^t + C,

Passo 5

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=7:
y = 6 + Ce^-t,
7 = 6 + C implies C = 1

Resposta

y(t) = 6 + e^{-t}

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