Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y'-yt+1=2t+2, definido para t>-1 com condição inicial y(1)=5-4=1. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Temos
P(t)=-1t+1,
Q(t)=2t+2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) via
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(-integral1t+1,dtr) =expl(-ln|t+1|r)=(t+1)^-1,
sabendo que t+1>0.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=(t+1)^-1. O lado esquerdo vira derivada de mu(t)y:
ddtl(yt+1r)=2t+2t+1=2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1=integral2,dt=2t+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y=(t+1)(2t+C)=2t^2+(C+2)t+C

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1=2cdot1^2+(C+2)cdot1+C=2+(C+2)+C=4+2C
logo 2C=-3 e C=-tfrac32.

Passo 8

Substituindo C=-tfrac32 na expressão de y, obtemos
y(t)=(t+1)l(2t-tfrac32r)=4t^2+t-32

Resposta

y(t)=dfrac4t^2+t-32

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