Use derivação implícita para encontrar partial z / partial x e partial z / partial y, sabendo que
e^x y z+x ln y=z^2

Passo 1

A equação dada é e^xyz + x ln y = z^2. O conteúdo aqui é diferenciação implícita para obter as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar a regra da cadeia para e^xyz, regra do produto e saber que ao derivar z(x,y) aparece sempre partial z/partial x ou partial z/partial y conforme o caso.

Passo 2

Para encontrar partial z/partial x, derivamos implicitamente em relação a x, tratando y como constante:
partialpartial xl(e^xyzr) + partialpartial x(x ln y) = partialpartial x(z^2)
Pela regra da cadeia e produto:
partialpartial x(e^xyz) = e^xyzcdotpartialpartial x(xyz) = e^xyz(y z + x y,partial zpartial x),
partialpartial x(x ln y) = ln y, partialpartial x(z^2) = 2z,partial zpartial x
Substituindo na equação:
e^xyz(y z + x y,zx) + ln y = 2z,zx, onde escrevemos zx para partial z/partial x.

Passo 3

Agora isolamos zx:
e^xyzy z + e^xyzx y,zx + ln y = 2z,zx
(e^xyzx y - 2z),zx = -l(e^xyzy z + ln y)

Passo 4

Para encontrar partial z/partial y, derivamos implicitamente em relação a y, agora tratando x como constante:
partialpartial yl(e^xyzr) + partialpartial y(x ln y) = partialpartial y(z^2)
Aplicando regra da cadeia:
partialpartial y(e^xyz) = e^xyz(x z + x y,partial zpartial y),
partialpartial y(x ln y) = xy, partialpartial y(z^2) = 2z,partial zpartial y
Substituindo:
e^xyz(x z + x y,zy) + xy = 2z,zy, onde zy = partial z/partial y.

Passo 5

Isolando zy:
e^xyzx z + e^xyzx y,zy + xy = 2z,zy
(e^xyzx y - 2z),zy = -l(e^xyzx z + xyr)
partial zpartial y = zy = -e^xyzx z + dfracxye^xyzx y - 2z

Resposta

partial zpartial x = -e^xyzy z + ln ye^xyzx y - 2z, partial zpartial y = -e^xyzx z + tfracxye^xyzx y - 2z

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