Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=19+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
Temos a equação diferencial
y'+y^2sin t=0, y(0)=19+1= 110
O conteúdo aqui é EDO separável, então vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação para isolar y':
dydt=-y^2sin t
Agora separamos as variáveis y e t:
dyy^2=-sin t,dt

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy=integral -sin t,dt
O lado esquerdo é
integral y^-2,dy=-1y+C1,
o direito é
integral -sin t,dt=cos t +C2
Unindo as constantes ( C=C2-C1), obtemos a solução implícita:
-1y=cos t +C

Passo 4

Isolamos y para ter a forma explícita geral. Multiplicando por -1 e invertendo:
1y=-cos t +C'Longrightarrow y(t)=1C'-cos t

Passo 5

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0)=1/10:
y(0)=1C'-cos0=1C'-1=110
Logo, C'-1=10 e C'=11. Portanto, a solução do PVI é
y(t)=111-cos t

Resposta

y(t)=\frac{1}{11-\cos t}

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