Encontre os vetores tangente unitário T, normal unitário N e binormal da curva r(t)=lang<=cos t, sin t, ln cos trang<= no ponto (1,0,0).

Passo 1

Estamos com a curva r(t)=lang<=cos t,,sin t,,lncos trang<= e queremos os vetores tangente unitário T, normal unitário N e binormal B no ponto (1,0,0). Vamos usar derivadas de r(t), normalização e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro identificamos o parâmetro t0 tal que r(t0)=(1,0,0). Temos as condições:
cos t0=1, sin t0=0, lncos t0=0
Isso dá t0=0 (ou 2pi k, mas escolhemos 0).

Passo 3

Calculamos as derivadas:
r'(t)=lang<= -sin t,,cos t,,-tan trang<=, r''(t)=lang<= -cos t,,-sin t,,-sec^2 trang<=
Em t=0 isso vale:
r'(0)=lang<=0,1,0rang<=, r''(0)=lang<=-1,0,-1rang<=
Como |r'(0)|=1, o vetor tangente unitário é
T(0)=r'(0)=lang<=0,1,0rang<=

Passo 4

Agora encontramos N(0). Como |r'(0)|=1, vale
T'(0)=r''(0)-l(r''(0)cdot T(0)r),T(0)
Aqui r''(0)cdot T(0)=0, logo T'(0)=lang<=-1,0,-1rang<= e
N(0)=T'(0)|T'(0)|= rac1raiz2,lang<=-1,0,-1rang<=

Passo 5

Finalmente, o binormal é o produto vetorial B=Ttimes N. Em t=0 temos
B(0)=lang<=0,1,0rang<=times1raiz2lang<=-1,0,-1rang<= =1raiz2,lang<=-1,0,1rang<=

Resposta

T(0)=lang<=0,1,0rang<=, N(0)=llang<= -tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2rrang<=, B(0)=llang<= -tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2rrang<=

Exercícios relacionados