(a) sumk=1^infty (-1)^k+2^3 k3^2 k-2 () diverge () converge para …

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série infinita
sumk=1^infty (-1)^k+2^3k3^2k-2
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica infinita e vamos usar a fórmula de soma sumk=1^infty r^k = tfracr1-r, válida para |r|<1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Note que
3^2k-2 = 3^2k3^2 = 9^k9
Então
(-1)^k + 2^3k3^2k-2 = 9l((-1)^k 9^-k + 2^3k9^-kr) = 9l((-1/9)^k + (8/9)^kr)
Logo a série se separa em duas geométricas:
9sumk=1^inftyl(-tfrac19r)^k e 9sumk=1^inftyl(tfrac89r)^k

Passo 3

Agora investigamos a convergência. As duas razões são r1=-1/9 e r2=8/9, ambas satisfazendo |ri|<1. Isso garante que cada série geométrica converge, logo a série dada também converge.

Passo 4

Calculamos a soma da primeira série geométrica:
sumk=1^inftyl(-tfrac19r)^k = -1/91-(-1/9) = -1/910/9 = -tfrac110
Multiplicando por 9, obtemos
9timesl(-tfrac110r) = -tfrac910

Passo 5

Calculamos a soma da segunda série geométrica:
sumk=1^inftyl(tfrac89r)^k = 8/91-8/9 = 8/91/9 = 8
Multiplicando por 9, vem
9times 8 = 72

Passo 6

Somando as duas contribuições temos a soma total da série:
S = -tfrac910 + 72 = tfrac-9 + 72010 = tfrac71110

Resposta

Converge para tfrac71110.

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