(a)
diverge
converge para …
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série infinita
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica infinita e vamos usar a fórmula de soma
, válida para
.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral. Note que
Então
Logo a série se separa em duas geométricas:
Passo 3
Agora investigamos a convergência. As duas razões são
e
, ambas satisfazendo
. Isso garante que cada série geométrica converge, logo a série dada também converge.
Passo 4
Calculamos a soma da primeira série geométrica:
Multiplicando por 9, obtemos
Passo 5
Calculamos a soma da segunda série geométrica:
Multiplicando por 9, vem
Passo 6
Somando as duas contribuições temos a soma total da série:
Resposta
Converge para
.