Questão 4. Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
com condições iniciais
e
. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea. Para resolver, a gente vai achar primeiro a solução da parte homogênea, depois uma solução particular e, por fim, usar as condições iniciais para ajustar as constantes.
Passo 2
Vamos à parte homogênea. A EDO homogênea associada é
Passo 3
Formamos a equação característica
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
Passo 5
Derivando, temos
e
. Substituindo em
:
Passo 6
Isso dá
Passo 7
Comparando coeficientes de
e constantes:
para :
⇒
,
constante: ⇒
⇒
.
para
constante:
Passo 8
Então
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma:
Passo 10
Agora usamos as condições iniciais. Derivando:
Passo 11
Em
:
Passo 12
Resolvendo o sistema