Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime+y^prime-2 y=2 t y(0)=0 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI y'' + y' - 2y = 2t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea. Para resolver, a gente vai achar primeiro a solução da parte homogênea, depois uma solução particular e, por fim, usar as condições iniciais para ajustar as constantes.

Passo 2

Vamos à parte homogênea. A EDO homogênea associada é
y'' + y' - 2y = 0

Passo 3

Formamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0,cuja solução é r=1 e r=-2. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(t) = A t + B

Passo 5

Derivando, temos yp' = A e yp'' = 0. Substituindo em y'' + y' - 2y = 2t:
0 + A - 2(At + B) = 2t

Passo 6

Isso dá
-2A,t + (A - 2B) = 2t + 0

Passo 7

Comparando coeficientes de t e constantes:
para t: -2A = 2 A = -1,
constante: A - 2B = 0 -1 - 2B = 0 B = -tfrac12.

Passo 8

Então
yp(t) = -t - tfrac12

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - t - tfrac12

Passo 10

Agora usamos as condições iniciais. Derivando:
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t - 1

Passo 11

Em t=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac12 = 0 Rightarrow C1 + C2 = tfrac12, y'(0)=C1 - 2C2 - 1 = 1 Rightarrow C1 - 2C2 = 2

Passo 12

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 - 2C2 = 2,subtraindo a primeira da segunda:
-3C2 = 2 - tfrac12 = tfrac32 implies C2 = -tfrac12,e então C1 = tfrac12 - C2 = 1.

Resposta

y(t) = e^t - tfrac12 e^-2t - t - tfrac12

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