Exercício 12. Expanda as seguintes expressões:
x y(y+x)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para expandir e simplificar a expressão
x y(y+x)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right).
Informações dadas: as letras \\ x e \\ y são variáveis; há denominadores \\ x e \\ y, portanto vamos assumir \\ x\neq0 e \\ y\neq0 para que a expressão faça sentido. O objetivo é transformar a expressão dada numa forma expandida e simplificada (sem frações ou parênteses desnecessários).

Passo 2

Primeiro passo algébrico natural: juntar a diferença de frações dentro do último parêntese para uma única fração com denominador comum. Calculemos
\frac{1}{x}-\frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y-x}{xy}.
Aqui usei o procedimento padrão: para somar/subtrair frações com denominadores diferentes, colocamos o mesmo denominador xy e somamos/subtraímos os numeradores.

Passo 3

Substituímos esse resultado de volta na expressão original:
x y(y+x)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) = x y(y+x)\cdot\frac{y-x}{xy}.
Agora a expressão está escrita como um produto de uma parcela inteira por uma fração.

Passo 4

Observamos que há um fator \,xy\,$ no numerador do produto e o mesmo fator no denominador da fração; podemos cancelar esse fator comum (válido porque assumimos \(\\ x\neq0 e \\ y\neq0). Fazendo o cancelamento obtemos:
x y(y+x)\cdot\frac{y-x}{xy} = (y+x)(y-x).
Esse passo usa a propriedade de que \frac{A\cdot B}{A}=B quando A\neq0.)

Passo 5

Agora expandimos o produto (y+x)(y-x). Uma maneira é usar a identidade conhecida (produto da soma pela diferença) ou distribuir termo a termo. Vou mostrar distribuindo:
(y+x)(y-x)=y(y-x)+x(y-x).
Calculando cada termo:
y(y-x)=y^2-xy,
x(y-x)=xy-x^2.
Somando:
(y^2-xy)+(xy-x^2)=y^2-x^2,
pois os termos -xy e +xy se cancelam.

Passo 6

Chegamos à forma expandida e simplificada da expressão original. Lembre-se: vale para \\ x\neq0 e \\ y\neq0.

Resposta

y^2-x^2

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