Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+y prime-2 y=0 y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Na questão temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + y' - 2y = 0, sujeita às condições y(0)=1 e y'(0)=1. Para resolver, vamos usar a técnica de equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada à equação diferencial é
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo essa equação temos
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
logo os autovalores são r1 = 1 e r2 = -2. Assim, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Derivando a solução geral obtemos
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t
Em t=0 as condições iniciais geram o sistema C1 + C2 = 1, C1 - 2C2 = 1. Resolvendo esse sistema ficamos com C1 = 1 e C2 = 0, o que leva à solução particular
y(t) = e^t

Passo 4

A solução encontrada é y(t)=e^t. Como para t to infty temos e^t to +infty, a solução diverge exponencialmente para infinito.

Resposta

A solução é y(t)=e^t. Para ttoinfty, y(t)to +infty.

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