Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
, e descobrir o que acontece com
quando
. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar a equação característica.
Passo 2
Para encontrar a solução geral, montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo
fatoramos em
, o que dá as raízes
e
. Assim a solução geral é:
Passo 4
Agora achamos
e
usando as condições iniciais. Primeiro, derivamos:
Passo 5
Em
, temos
Passo 6
Da segunda condição vem
. Substituindo em
obtemos
. Portanto:
Passo 7
Para ver o comportamento quando
, note que
. Logo:
Resposta
A solução é
e ela tende a
quando
.