Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+3 y prime=0 y(0)=-2 ; y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial de segunda ordem y'' + 3y' = 0 com as condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 3, e descobrir o que acontece com y(t) quando t to infty. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar a equação característica.

Passo 2

Para encontrar a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^2 + 3r = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 + 3r = 0 fatoramos em r(r + 3) = 0, o que dá as raízes r1 = 0 e r2 = -3. Assim a solução geral é:
y(t) = C1 + C2 e^-3t

Passo 4

Agora achamos C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro, derivamos:
y'(t) = -3C2 e^-3t

Passo 5

Em t=0, temos
y(0) = C1 + C2 = -2
y'(0) = -3C2 = 3

Passo 6

Da segunda condição vem C2 = -1. Substituindo em C1 + C2 = -2 obtemos C1 = -1. Portanto:
y(t) = -1 - e^-3t

Passo 7

Para ver o comportamento quando t to infty, note que e^-3t to 0. Logo:
y(t) to -1 quando t to infty

Resposta

A solução é y(t) = -1 - e^-3t e ela tende a -1 quando t to infty.

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