Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+4 y=0 y(0)=0 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, e depois analisar o comportamento de y(t) quando t to infty. Vamos usar a técnica de equação característica para EDOs lineares.

Passo 2

Para resolver a EDO, escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 4 = 0
Isso vem de substituir y = e^rt em y'' + 4y = 0, o que leva a r^2 e^rt + 4 e^rt = 0 e, como e^rt neq 0, sobra r^2 + 4 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 = -4
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r = pm 2,i
Como as raízes são imaginárias conjugadas alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=2, a solução geral da EDO é
y(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para achar A e B:
  • De y(0)=0 temos
y(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A cdot 1 + B cdot 0 = A = 0
  • Da derivada y'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t), em t=0 obtemos
y'(0) = -2Asin(0) + 2Bcos(0) = 2B = 1 implies B = tfrac12

Passo 5

Substituindo A=0 e B=tfrac12 na solução geral, temos
y(t) = tfrac12sin(2t)
Para t to infty, a função sin(2t) continua oscilando entre -1 e 1, então y(t) oscila entre -tfrac12 e tfrac12 sem convergir para um valor único.

Passo 6

Como conclusão, a solução é uma oscilação harmônica simples de amplitude 1/2, portanto não converge quando t to infty, apenas permanece limitada e periódica.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = tfrac12sin(2t),
que para t to infty oscila continuamente entre -tfrac12 e tfrac12, sem convergir a um valor fixo.

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