Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
, e depois analisar o comportamento de
quando
. Vamos usar a técnica de equação característica para EDOs lineares.
Passo 2
Para resolver a EDO, escrevemos a equação característica associada:
Isso vem de substituir
em
, o que leva a
e, como
, sobra
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
logo
Como as raízes são imaginárias conjugadas
com
e
, a solução geral da EDO é
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais para achar
e
:
- De
temos
- Da derivada
, em obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, temos
Para
, a função
continua oscilando entre
e
, então
oscila entre
e
sem convergir para um valor único.
Passo 6
Como conclusão, a solução é uma oscilação harmônica simples de amplitude
, portanto não converge quando
, apenas permanece limitada e periódica.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
que para
oscila continuamente entre
e
, sem convergir a um valor fixo.