Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado apresenta uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, sujeita a condições iniciais em t = π/2. Precisamos resolver a EDO usando a equação característica e depois impor as condições iniciais para determinar as constantes. Por fim, vamos analisar o comportamento da solução quando t → ∞.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a y’’ – 2y’ + 5y = 0. Ela é
Resolvendo-a, obtemos raízes complexas r = 1 ± 2i. Pela teoria, isso leva à solução geral
Passo 3
Aplicamos a condição y(π/2) = 0: substituindo t = π/2 na solução geral,
Logo, A = 0. A solução passa a ser y(t) = B e^{t} sin(2t).
Passo 4
Calculamos y’(t) e aplicamos y’(π/2) = 2. Primeiro,
Então,
Daí B = -1/e^{\pi/2}.
Passo 5
Substituindo A = 0 e B = -e^{-\pi/2} obtemos a solução particular
Como t → ∞, o fator e^{t - \pi/2} cresce sem limite, fazendo a solução oscilar com amplitude crescente e divergir.
Passo 6
Resposta
Para t → ∞, a solução oscila com amplitude que cresce exponencialmente, portanto diverge sem limite.