Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime-2 y prime+5 y=0 y(pi / 2)=0 ; y^prime(pi / 2)=2

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, sujeita a condições iniciais em t = π/2. Precisamos resolver a EDO usando a equação característica e depois impor as condições iniciais para determinar as constantes. Por fim, vamos analisar o comportamento da solução quando t → ∞.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a y’’ – 2y’ + 5y = 0. Ela é
r^2 2r + 5 = 0
Resolvendo-a, obtemos raízes complexas r = 1 ± 2i. Pela teoria, isso leva à solução geral
y(t) = e^tigl(Acos(2t) + Bsin(2t)r) 

Passo 3

Aplicamos a condição y(π/2) = 0: substituindo t = π/2 na solução geral,
y(π/2) = e^pi/2l(A cos(π) + B sin(π)r) = e^pi/2(-A + 0) = 0
Logo, A = 0. A solução passa a ser y(t) = B e^{t} sin(2t).

Passo 4

Calculamos y’(t) e aplicamos y’(π/2) = 2. Primeiro,
y'(t) = B e^tl(sin(2t) + 2cos(2t)r)
Então,
y'(π/2) = B e^pi/2l(0 + 2(-1)r) = -2B e^pi/2 = 2
Daí B = -1/e^{\pi/2}.

Passo 5

Substituindo A = 0 e B = -e^{-\pi/2} obtemos a solução particular
y(t) = -e^t - pi/2sin(2t)
Como t → ∞, o fator e^{t - \pi/2} cresce sem limite, fazendo a solução oscilar com amplitude crescente e divergir.

Passo 6

Resposta

y(t) = -e^t - pi/2sin(2t)
Para t → ∞, a solução oscila com amplitude que cresce exponencialmente, portanto diverge sem limite.

Exercícios relacionados