Seja T a curva triangular que liga os pontos A=(0,0), B=(1,0) e C=(2,3). Calcule:
ointT 2 x^5 d x+2 x y d y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo vetorial vec F=(2x^5,,2xy) e queremos calcular a integral de linha fechada oint T2x^5,dx+2xy,dy sobre o triângulo de vértices A=(0,0), B=(1,0) e C=(2,3). Vamos parametrizar cada aresta e somar as contribuições.

Passo 2

Parametrização e cálculo em AB: da aresta de A a B, temos
x=t, y=0, 0<= t<=1,
então
dx=dt, dy=0, e a integral
integralAB2x^5,dx+2xy,dy=integral0^1 2t^5,dt=2cdott^66|0^1=13

Passo 3

Parametrização e cálculo em BC: da aresta de B a C, use
x=1+t, y=3t, 0<= t<=1,
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dx=dt, dy=3,dt Substituindo em 2x^5,dx+2xy,dy obtemos
integral0^1l[2(1+t)^5+2(1+t)(3t)cdot3r]dt=integral0^1l[2(1+t)^5+18t(1+t)r]dt=21+15=36

Passo 4

Parametrização e cálculo em CA: da aresta de C a A, use
x=2-2t, y=3-3t, 0<= t<=1,
então
dx=-2,dt, dy=-3,dt No integrando
2x^5,dx+2xy,dy=-4(2-2t)^5dt-36(1-t)^2dt, e
integralCA=-643-12=-1003

Passo 5

Somando as três arestas:
13+36-1003=1+108-1003=93=3

Resposta

3

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