Seja o campo vetorial definido por
. Determine:
(2) Em caso positivo do item anterior, a função potencial.
(2) Em caso positivo do item anterior, a função potencial.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
. Queremos verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, determinar sua função potencial, usando a teoria de campos conservativos em
.
Passo 2
O domínio é
, que é aberto e simplesmente conexo. Para checar conservatividade basta verificar se
onde
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, o campo é conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí
Passo 6
Concluindo, a função potencial, até uma constante aditiva, é