Seja o campo vetorial definido por F(x, y)=(e^y sen(x),-e^y cos (x)). Determine:
(2) Em caso positivo do item anterior, a função potencial.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial F(x,y)=l(e^ysin(x),,-e^ycos(x)r). Queremos verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, determinar sua função potencial, usando a teoria de campos conservativos em R^2.

Passo 2

O domínio é R^2, que é aberto e simplesmente conexo. Para checar conservatividade basta verificar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x,
onde P=e^ysin(x) e Q=-e^ycos(x).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y=e^ysin(x), partial Qpartial x=-e^y(-sin(x))=e^ysin(x)
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral e^ysin(x),dx=-e^ycos(x)+h(y),
onde h(y) depende só de y.

Passo 5

Derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y=-e^ycos(x)+h'(y)=-e^ycos(x)
Daí h'(y)=0, logo h(y)=C, constante.

Passo 6

Concluindo, a função potencial, até uma constante aditiva, é
f(x,y)=-e^ycos(x)+C

Resposta

f(x,y)=-e^ycos(x)+C

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