Questão 6. [Teorema de Abel] Sejam
e
soluções da equação diferencial
em um intervalo
e defina o Wronskiano como função de
como
a) Mostre que
.
b) Mostre que
onde
é uma constante que depende de
e
.
c) Conclua que ou
para todo
ou
nunca se anula em
.
Nota: Deste teorema segue que para determinar se
e
são soluções fundamentais em um determinado intervalo
, basta avaliar a nulidade do Wronskiano em qualquer ponto de
.
b) Mostre que
c) Conclua que ou
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem homogênea
e duas soluções independentes
e
. Definimos o Wronskiano
Vamos usar propriedades de determinante, diferenciação e resolução de EDO de 1ª ordem para provar os itens.
Passo 2
Para mostrar a expressão explícita de
, basta expandir o determinante de ordem 2:
Passo 3
Agora diferenciamos
usando a regra do produto e a soma:
Passo 4
Como cada
satisfaz
, temos
Substituindo isso em
:
Passo 5
Observamos que
é uma EDO de primeira ordem separável. Separamos variáveis:
Integrando:
Logo,
Passo 6
Como a função
nunca zera, o único jeito de
ser nulo em algum ponto é ter
. Assim
ou para todo
(quando
) ou
para todo
(quando
).
ou