Questão 6. [Teorema de Abel] Sejam y1(t) e y2(t) soluções da equação diferencial
y prime prime+p(t) y prime+q(t) y=0
em um intervalo I e defina o Wronskiano como função de t como
W(t)=det(ll y1(t) & y2(t) y1^prime(t) & y2^prime(t) )
a) Mostre que c.
b) Mostre que y1 onde y2 é uma constante que depende de W(t)=0 e t in I.
c) Conclua que ou W(t) para todo I ou y1 nunca se anula em y2.
Nota: Deste teorema segue que para determinar se I e I são soluções fundamentais em um determinado intervalo , basta avaliar a nulidade do Wronskiano em qualquer ponto de .

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem homogênea
y''+p(t)y'+q(t)y=0
e duas soluções independentes y1(t) e y2(t). Definimos o Wronskiano
W(t)=dety1(t)&y2(t)y'1(t)&y'2(t)
Vamos usar propriedades de determinante, diferenciação e resolução de EDO de 1ª ordem para provar os itens.

Passo 2

Para mostrar a expressão explícita de W(t), basta expandir o determinante de ordem 2:
W(t)=y1(t)y'2(t)-y2(t)y'1(t)

Passo 3

Agora diferenciamos W(t) usando a regra do produto e a soma:
W'(t)=ddtl[y1y'2 - y2y'1r] = y'1y'2 + y1y''2 - y'2y'1 - y2y''1 = y1y''2 - y2y''1

Passo 4

Como cada yi satisfaz y''i + p(t)y'i + q(t)yi=0, temos
y''i = -p(t)y'i - q(t)yi
Substituindo isso em W'(t):
W'(t)=y1(-py'2 - qy2)-y2(-py'1 - qy1) =-pl(y1y'2 - y2y'1r) =-p(t),W(t)

Passo 5

Observamos que W'(t)+p(t)W(t)=0 é uma EDO de primeira ordem separável. Separamos variáveis:
dWW = -p(t),dt
Integrando:
ln|W| = -integral p(t),dt + C
Logo,
W(t)=C'expl(-integral p(t),dtr)

Passo 6

Como a função e^-integral p nunca zera, o único jeito de W(t) ser nulo em algum ponto é ter C'=0. Assim
ou W(t)=0 para todo tin I (quando C'=0) ou W(t)neq0 para todo tin I (quando C'neq0).

Resposta

W(t)=Cexpl(-integral p(t),dtr). Desta forma, ou W(t)=0 para todo tin I ou W(t) não se anula em I.

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