Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{aligned} x-2 y & =1 \\\\ 2 x-y & =9\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema
\begin{cases} x - 2y = 1,\\\\ 2x - y = 9 \end{cases}
é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Vamos usar eliminação de Gauss: montamos a matriz ampliada, reduzimos à forma escada e, a partir daí, determinamos o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada e o grau de liberdade.

Passo 2

Construímos a matriz ampliada [A\mid b]:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -1 & 9 \end{array}\right]

Passo 3

Aplicamos a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} para obter a forma escada:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 3 & 7 \end{array}\right]

Passo 4

Na parte de coeficientes temos duas linhas não nulas, logo
\rank(A)=2.
Na matriz ampliada também há duas linhas não nulas, portanto
\rank([A\mid b])=2.

Passo 5

O número de incógnitas é 2 e o posto é 2, ou seja, \rank(A) igual a número de incógnitas. Isso garante solução única e grau de liberdade
2 - 2 = 0.

Resposta

\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 3 & 7 \end{array}\right]
\operatorname{rank}(A) = 2, \operatorname{rank}([A \mid b]) = 2, grau de liberdade = 0.

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