Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{8} x+2 y-6 z=0 \\\\ -4 x+5 z=0 \\\\ -3 x+6 y-13 z=0 \\\\ -\frac{7}{8} x+2 y-\frac{8}{3} z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações e três incógnitas:
\begin{cases} -\tfrac{1}{8}x+2y-6z=0,\\\\ -4x+5z=0,\\\\ -3x+6y-13z=0,\\\\ -\tfrac{7}{8}x+2y-\tfrac{8}{3}z=0. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss para obter a forma escada reduzida (RREF) da matriz ampliada, depois determinar \mathrm{rank}(A), \mathrm{rank}([A|0]) e o grau de liberdade n-\mathrm{rank}(A).

Passo 2

Para evitar frações, multiplicamos a primeira equação por 8 e a quarta por 24. O sistema equivalente é
\begin{cases} -\,x+16y-48z=0,\\\\ -\,4x+0y+5z=0,\\\\ -\,3x+6y-13z=0,\\\\ -21x+48y-64z=0, \end{cases}
cuja matriz ampliada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 16 & -48 & 0\\\\ -4 & 0 & 5 & 0\\\\ -3 & 6 & -13 & 0\\\\ -21& 48 & -64 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Trocamos linha 1 pela linha 2 e, em seguida, multiplicamos a nova linha 1 por -1 para ter pivô 1. Depois eliminamos a coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -16 & 48 & 0\\\\ 0 & -64 & 197 & 0\\\\ 0 & -42 & 131 & 0\\\\ 0 & -288& 944 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Dividimos a linha 2 por -64 para ter pivô 1 na coluna 2 e eliminamos essa coluna nas outras linhas:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{5}{4} & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{197}{64}& 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{55}{32} & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{115}{2} & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Dividimos a linha 3 por \tfrac{55}{32} para ter pivô 1 na coluna 3 e eliminamos essa coluna nas demais:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Resposta

A forma escada reduzida da matriz ampliada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
O posto da matriz de coeficientes é \mathrm{rank}(A)=3, o posto da ampliada é \mathrm{rank}([A|0])=3 e, como o sistema é homogêneo em n=3 incógnitas, o grau de liberdade é
n-\mathrm{rank}(A)=3-3=0.

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