Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{rr}x+y+z+w= & 0 \\\ x+y+z-w= & 4 \\\ x+y-z+w= & -4 \\\ x-y+z+w= & 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y+z+w = 0,\\\ x+y+z-w = 4,\\\ x+y-z+w = -4,\\\ x-y+z+w = 2, \end{cases}
usando eliminação de Gauss para obter a matriz ampliada na forma escada (e também reduzida), depois determinar o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada e, por fim, o grau de liberdade (número de variáveis menos o posto).

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [A\mid b]:
[A\mid b] = \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 4\\\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -4\\\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos operações elementares para zerar abaixo do pivô da primeira coluna:
\begin{aligned} \text{R}_2&\leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1,\\\ \text{R}_3&\leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1,\\\ \text{R}_4&\leftarrow \text{R}_4 - \text{R}_1. \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 4\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora colocamos em forma escada, trocando linhas para ordenar os pivôs da esquerda para a direita, e escalonamos cada linha para tornar o pivô igual a 1:
\begin{aligned} &\text{troca R}_2\leftrightarrow\text{R}_4,\\\ &\text{R}_2\leftarrow -\tfrac12\,\text{R}_2,\quad \text{R}_3\leftarrow -\tfrac12\,\text{R}_3,\quad \text{R}_4\leftarrow -\tfrac12\,\text{R}_4, \end{aligned}
\Longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos acima dos pivôs (forma reduzida):
\text{R}_1\leftarrow \text{R}_1 - \text{R}_2 - \text{R}_3 - \text{R}_4 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].

Passo 5

Da forma reduzida vemos que há pivô em cada uma das 4 colunas de variáveis, logo
\mathrm{rank}(A)=4, \qquad \mathrm{rank}([A\mid b])=4.
Como ambos os postos são iguais, o sistema é compatível. Há 4 variáveis e o posto é 4, então o grau de liberdade é
4 - 4 = 0,
isto é, solução única.

Resposta

Matriz ampliada em forma reduzida:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]
\mathrm{rank}(A)=4,; \mathrm{rank}([A\mid b])=4,; grau de liberdade =0.
Solução:
(x,y,z,w) = (1,\,-1,\,2,\,-2).

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