Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
Informações dadas e o que se busca:
- As incógnitas são as funções
e (derivadas em relação a aparecem no enunciado). - Não há condições iniciais fornecidas; portanto queremos a solução geral do sistema (com constantes arbitrárias).
- O sistema é linear de coeficientes constantes; devemos encontrar todas as soluções da forma geral.]
Passo 2
Vamos escrever o sistema de forma matricial, que deixa a estrutura mais clara. Definimos o vetor
então o sistema pode ser escrito como
onde a matriz
é a matriz dos coeficientes do sistema. Escrevendo
explicitamente:
Explicação curta: colocar o sistema em forma matricial facilita porque soluções do tipo exponencial entram naturalmente e podemos usar autovalores/autovetores.]
Passo 3
Método que vamos usar (explicação didática): procuramos soluções do sistema da forma
onde
é um número (autovalor) e
é um vetor constante (autovetor). Por que isso funciona? Substituindo
em
obtemos
cancelando
(que nunca é zero) obtemos a equação
ou equivalentemente
Isto é o problema clássico de autovalores:
deve ser tal que exista um vetor não nulo
satisfazendo essa igualdade.
Passo 4
Para encontrar os autovalores
calculamos o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
:
Agora calculamos o determinante:
Vou desenvolver essa expressão passo a passo:
Somando o termo
(porque
) temos
Passo 5
Agora resolvemos o polinômio característico
Isto é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Tentando fatorar:
Logo os autovalores são
Passo 6
Encontrando o autovetor associado a
As equações correspondentes (para
) são
As duas equações são equivalentes; da primeira obtemos
, então
Explicação: autovetores são definidos até multiplicação por constante, então podemos escolher uma escala conveniente.]
Passo 7
Encontrando o autovetor associado a
As equações para
são
Novamente as duas são equivalentes; da primeira vem
por simplicidade, obtemos o autovetor
Passo 8
Formando a solução geral: como os autovalores são distintos (
e
), os vetores
e
são linearmente independentes e geram o espaço de soluções. Assim a solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo os autovetores:
Passo 9
Escrevendo as componentes explicitamente (para ficar prontinho na hora da prova):
Comentário didático curto: é sempre bom checar que as soluções são linearmente independentes (por exemplo, a matriz formada pelos autovetores
tem determinante
), então temos duas soluções independentes e a solução geral com duas constantes cobre todo o espaço de soluções.]