O enunciado pede a solução da equação diferencial de valor inicial
y''+y=f(t),
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
onde f(t)\) é a função por partes
\[f(t)=\begin{cases}1, & 0\le t<3\pi,\\[4pt] 0, & 3\pi\le t<\infty.\end{cases}
As perguntas implícitas são: encontrar y(t)\] para todo \(t\ge0, isto é, determinar a solução para o intervalo inicial onde f(t)=1 e para o intervalo após t=3\pi onde f(t)=0, respeitando as condições de continuidade de y e y' em t=3\pi.]
Passo 2
Vamos tratar a equação por partes no tempo, porque f(t) muda em t=3\pi. Primeiro resolvemos para 0\le t<3\pi, onde f(t)=1.
A equação é
y''+y=1.
Explico a técnica: a solução geral de uma equação linear de segunda ordem é soma da solução homogênea y_h (resolvendo y''+y=0) e de uma solução particular y_p de toda a equação não homogênea. Ou seja,
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Primeiro a homogênea y''+y=0. Achar suas soluções fundamentais. A equação característica é r^2+1=0, então r=\pm i. Isso dá as soluções reais
y_h(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar.
Agora uma solução particular para o lado direito constante 1. Tentamos uma solução particular constante y_p=C. Substituindo em y''+y=1 obtemos 0+C=1, logo C=1. Portanto
y_p(t)=1.
Assim a solução geral no intervalo 0\le t<3\pi é
y(t)=A\cos t+B\sin t+1.
Passo 3
Usamos as condições iniciais em t=0 para determinar A e B.
Calcule y(0) e y'(0). Para a solução y(t)=A\cos t+B\sin t+1 temos:
y'(t)=-A\sin t + B\cos t + 0 = -A\sin t + B\cos t.
Então
y'(0) = -A\sin 0 + B\cos 0 = 0 + B\cdot 1 = B.
A condição y'(0)=1 dá
B=1.
Portanto, para 0\le t<3\pi temos a solução determinada:
y_1(t) = -\cos t + \sin t + 1.
Passo 4
Agora vamos para t\ge 3\pi, onde f(t)=0. Nessa região a equação é homogênea:
y''+y=0.
A solução geral é (como antes)
y(t)=C\cos t + D\sin t,
com constantes C,D que serão determinadas impondo continuidade de y e y' no instante t=3\pi (porque a solução física de uma ODE de segunda ordem e suas derivadas de primeira ordem são contínuas quando o lado direito é limitado).
Portanto precisamos calcular y_1(3\pi) e y_1'(3\pi) para usá-los como “condições iniciais” para a solução no intervalo seguinte.
Calcule y_1(3\pi). Usamos a expressão de y_1 e os valores trigonométricos:
Juntando as duas partes, a solução para todo t\ge0\) é a função por partes:
\[y(t)=\begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0\le t<3\pi,\\[6pt] -2\cos t + \sin t, & t\ge 3\pi. \end{cases}
Se você quiser uma única expressão usando a função degrau (Heaviside), pode escrever em termos de (H(t-3\pi)], mas como em prova é normalmente pedido o resultado por partes, a forma acima é a mais direta.]
Resposta
y(t)=\begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0\le t<3\pi,\\[6pt] -2\cos t + \sin t, & t\ge 3\pi. \end{cases}]