Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+y=f(t) ;\quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1;
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<3 \pi \\\\ 0, & 3 \pi \leq t<\infty\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de valor inicial
y''+y=f(t),
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
onde f(t)\) é a função por partes \[f(t)=\begin{cases}1, & 0\le t<3\pi,\\[4pt] 0, & 3\pi\le t<\infty.\end{cases}
As perguntas implícitas são: encontrar y(t)\] para todo \(t\ge0, isto é, determinar a solução para o intervalo inicial onde f(t)=1 e para o intervalo após t=3\pi onde f(t)=0, respeitando as condições de continuidade de y e y' em t=3\pi.]

Passo 2

Vamos tratar a equação por partes no tempo, porque f(t) muda em t=3\pi. Primeiro resolvemos para 0\le t<3\pi, onde f(t)=1.
A equação é
y''+y=1.
Explico a técnica: a solução geral de uma equação linear de segunda ordem é soma da solução homogênea y_h (resolvendo y''+y=0) e de uma solução particular y_p de toda a equação não homogênea. Ou seja,
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Primeiro a homogênea y''+y=0. Achar suas soluções fundamentais. A equação característica é r^2+1=0, então r=\pm i. Isso dá as soluções reais
y_h(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar.
Agora uma solução particular para o lado direito constante 1. Tentamos uma solução particular constante y_p=C. Substituindo em y''+y=1 obtemos 0+C=1, logo C=1. Portanto
y_p(t)=1.
Assim a solução geral no intervalo 0\le t<3\pi é
y(t)=A\cos t+B\sin t+1.

Passo 3

Usamos as condições iniciais em t=0 para determinar A e B.
Calcule y(0) e y'(0). Para a solução y(t)=A\cos t+B\sin t+1 temos:
y(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + 1 = A\cdot 1 + B\cdot 0 +1 = A+1.
A condição y(0)=0 implica
A+1=0\quad\Rightarrow\quad A=-1.
Derivando a solução:
y'(t)=-A\sin t + B\cos t + 0 = -A\sin t + B\cos t.
Então
y'(0) = -A\sin 0 + B\cos 0 = 0 + B\cdot 1 = B.
A condição y'(0)=1
B=1.
Portanto, para 0\le t<3\pi temos a solução determinada:
y_1(t) = -\cos t + \sin t + 1.

Passo 4

Agora vamos para t\ge 3\pi, onde f(t)=0. Nessa região a equação é homogênea:
y''+y=0.
A solução geral é (como antes)
y(t)=C\cos t + D\sin t,
com constantes C,D que serão determinadas impondo continuidade de y e y' no instante t=3\pi (porque a solução física de uma ODE de segunda ordem e suas derivadas de primeira ordem são contínuas quando o lado direito é limitado).
Portanto precisamos calcular y_1(3\pi) e y_1'(3\pi) para usá-los como “condições iniciais” para a solução no intervalo seguinte.
Calcule y_1(3\pi). Usamos a expressão de y_1 e os valores trigonométricos:
\cos(3\pi)=\cos\pi=-1,\qquad \sin(3\pi)=0.
Então
y_1(3\pi) = -\cos(3\pi) + \sin(3\pi) + 1 = -(-1) + 0 + 1 = 2.
Calcule y_1'(t) explicitamente (já tínhamos a derivada):
y_1'(t)=\sin t + \cos t,
portanto
y_1'(3\pi)=\sin(3\pi)+\cos(3\pi)=0+(-1)=-1.
Assim, no instante t_0=3\pi as condições para a solução homogênea são
y(3\pi)=2,\qquad y'(3\pi)=-1.

Passo 5

Agora imponha essas condições à solução geral y(t)=C\cos t + D\sin t para t\ge3\pi.
Avalie em t=3\pi:
y(3\pi)=C\cos(3\pi)+D\sin(3\pi)=C(-1)+D\cdot 0=-C.
Igualando a 2 obtemos
-C=2\quad\Rightarrow\quad C=-2.
A derivada é
y'(t)=-C\sin t + D\cos t.
Avalie em t=3\pi:
y'(3\pi)=-C\sin(3\pi)+D\cos(3\pi) = -C\cdot 0 + D(-1) = -D.
Igualando a -1 obtemos
-D=-1\quad\Rightarrow\quad D=1.
Portanto, para t\ge 3\pi a solução é
y_2(t) = -2\cos t + \sin t.

Passo 6

Juntando as duas partes, a solução para todo t\ge0\) é a função por partes: \[y(t)=\begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0\le t<3\pi,\\[6pt] -2\cos t + \sin t, & t\ge 3\pi. \end{cases}
Se você quiser uma única expressão usando a função degrau (Heaviside), pode escrever em termos de (H(t-3\pi)], mas como em prova é normalmente pedido o resultado por partes, a forma acima é a mais direta.]

Resposta

y(t)=\begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0\le t<3\pi,\\[6pt] -2\cos t + \sin t, & t\ge 3\pi. \end{cases}]

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