Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais e pede a solução geral para
Informações relevantes: as derivadas são em relação a uma variável independente
). Queremos encontrar funções
e
que satisfaçam ambas as equações simultaneamente, com constantes arbitrárias de integração.]
Passo 2
Vamos começar pela equação mais simples, que envolve só
:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também uma equação separável. Explico a forma mais direta: escrevemos
ou seja
Integrando ambos os lados em
obtemos
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde escrevemos a constante como
. Aqui
é uma constante real arbitrária. Isso significa que qualquer solução para
deve ter essa forma.
Passo 3
Agora substituímos essa expressão de
na segunda equação para obter uma equação só em
:
Organizando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
Vou explicar a técnica que vamos usar: equações do tipo
são resolvidas com o fator integrante (ou fator de integração)
. Multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada de
, o que facilita integrar.
Passo 4
Aqui temos
, logo o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja
Essa identidade é a razão de usarmos o fator integrante: transforma a equação numa coisa fácil de integrar.
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
A integral do lado esquerdo dá
. No lado direito,
, então
onde
é uma nova constante de integração.
Passo 6
Isolando
, dividimos por
:
Aqui
é a mesma constante que apareceu em
e
é outra constante arbitrária. Portanto encontramos a solução geral do sistema.
Passo 7
Resumo e interpretação: a solução geral é um espaço vetorial de dimensões 2 gerado por duas soluções independentes. Escrevendo em forma de vetor,
Se quiser, você pode verificar rapidamente que essas expressões satisfazem as equações originais: derivando e substituindo, tudo bate certinho. Respire fundo — você resolveu o sistema! Se quiser, praticamos mais um exemplo parecido.]