Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=2 y_{1} \y_{2}^{\prime}=y_{1}-y_{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais e pede a solução geral para y_{1}\) e \(y_{2}\): \[\begin{cases} y_{1}^{\prime}=2 y_{1},\\[4pt] y_{2}^{\prime}=y_{1}-y_{2}. \end{cases}
Informações relevantes: as derivadas são em relação a uma variável independente t\] (usarei \(t). Queremos encontrar funções y_{1}(t) e y_{2}(t) que satisfaçam ambas as equações simultaneamente, com constantes arbitrárias de integração.]

Passo 2

Vamos começar pela equação mais simples, que envolve só y_{1}:
y_{1}^{\prime}=2 y_{1}.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também uma equação separável. Explico a forma mais direta: escrevemos
\frac{y_{1}^{\prime}}{y_{1}}=2,
ou seja
\frac{d}{dt}\big(\ln|y_{1}|\big)=2.
Integrando ambos os lados em t obtemos
\ln|y_{1}|=2t+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
y_{1}=C_{1}e^{2t},
onde escrevemos a constante como \,C_{1}=e^{C}. Aqui \,C_{1} é uma constante real arbitrária. Isso significa que qualquer solução para y_{1} deve ter essa forma.

Passo 3

Agora substituímos essa expressão de y_{1} na segunda equação para obter uma equação só em y_{2}:
y_{2}^{\prime}=y_{1}-y_{2} \quad\Longrightarrow\quad y_{2}^{\prime}=C_{1}e^{2t}-y_{2}.
Organizando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
y_{2}^{\prime}+y_{2}=C_{1}e^{2t}.
Vou explicar a técnica que vamos usar: equações do tipo
y'+p(t)y=q(t)
são resolvidas com o fator integrante (ou fator de integração) \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(t)y, o que facilita integrar.

Passo 4

Aqui temos p(t)=1, logo o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a equação por e^{t} obtemos
e^{t}y_{2}^{\prime}+e^{t}y_{2}=C_{1}e^{3t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{t}y_{2}, ou seja
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y_{2}\big)=C_{1}e^{3t}.
Essa identidade é a razão de usarmos o fator integrante: transforma a equação numa coisa fácil de integrar.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{t}y_{2}\big)\,dt=\int C_{1}e^{3t}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá e^{t}y_{2}. No lado direito, \int e^{3t}\,dt=\tfrac{1}{3}e^{3t}, então
e^{t}y_{2}=\frac{C_{1}}{3}e^{3t}+C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração.

Passo 6

Isolando y_{2}, dividimos por e^{t}:
y_{2}=\frac{C_{1}}{3}e^{2t}+C_{2}e^{-t}.
Aqui C_{1} é a mesma constante que apareceu em y_{1}=C_{1}e^{2t} e C_{2} é outra constante arbitrária. Portanto encontramos a solução geral do sistema.

Passo 7

Resumo e interpretação: a solução geral é um espaço vetorial de dimensões 2 gerado por duas soluções independentes. Escrevendo em forma de vetor,
\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\[4pt]y_{2}(t)\end{pmatrix} =C_{1}\begin{pmatrix}e^{2t}\\[4pt]\tfrac{1}{3}e^{2t}\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}0\\[4pt]e^{-t}\end{pmatrix}.
Se quiser, você pode verificar rapidamente que essas expressões satisfazem as equações originais: derivando e substituindo, tudo bate certinho. Respire fundo — você resolveu o sistema! Se quiser, praticamos mais um exemplo parecido.]

Resposta

y_{1}(t)=C_{1}e^{2t}
y_{2}(t)=\dfrac{C_{1}}{3}e^{2t}+C_{2}e^{-t}

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