Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear não homogêneo de EDOs de primeira ordem
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.
Passo 2
Vamos colocar em forma matricial
, onde
A técnica é achar os autovalores
e os autovetores correspondentes de
, e então montar a solução como combinação linear de
vezes cada autovetor.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico
Expandindo pela primeira linha:
Fazendo as contas surge
ou seja
Passo 4
Fatorando o polinômio tentamos raízes inteiras e obtemos
. Dividindo por
vem
, cujas raízes são
Portanto os autovalores são
Passo 5
Para cada
resolvemos
:
-
:Tomando dá -
:Com fica -
:Com obtém-se
Passo 6
A solução geral é combinação linear dos modos
. Logo
isto é
com
constantes de integração.