Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de equações diferenciais
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X},
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo necessário inclui cálculo de autovalores e autovetores de A e, no caso de multiplicidade algébrica maior que a geométrica, uso de autovetores generalizados.

Passo 2

Para encontrar os autovalores resolvemos \det(A - \lambda I)=0. Como A é triangular por blocos, temos
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\\ -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((3-\lambda)(1-\lambda)+1\bigr).
Calculamos o segundo fator:
(3-\lambda)(1-\lambda)+1 =3 -4\lambda +\lambda^2 +1 =\lambda^2 -4\lambda +4 =(\lambda-2)^2.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = 2.

Passo 3

Para \lambda_1=1 resolvemos (A - I)v=0. Temos
A - I = \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&2&1\\\ 0&-1&0\end{pmatrix},
e o sistema
2v_2 + v_3 = 0,\quad -v_2 = 0.
Da segunda equação v_2=0, daí v_3=0 e v_1 é livre. Um autovetor associado é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0 com
A - 2I = \begin{pmatrix}-1&0&0\\\ 0&1&1\\\ 0&-1&-1\end{pmatrix}.
As equações são
-v_1 = 0,\quad v_2 + v_3 = 0.
Logo v_1=0, v_3=-v_2, e há somente um autovetor independente, por exemplo
v^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade algébrica é 2 e a geométrica é 1, buscamos um autovetor generalizado w tal que
(A - 2I)w = v^{(2)}.
Escrevendo w=(w_1,w_2,w_3)^T e usando A-2I acima, obtém-se
-w_1=0,\quad w_2 + w_3 = 1,
de modo que escolhemos por conveniência w_1=0, w_2=0, w_3=1. Assim
w = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear de três soluções independentes:
  1. Para \lambda_1=1,
\mathbf{X}_1(t) = e^{t}v^{(1)}.
  1. Para \lambda=2 (autovetor simples),
\mathbf{X}_2(t) = e^{2t}v^{(2)}.
  1. Para o autovetor generalizado,
\mathbf{X}_3(t) = t\,e^{2t}v^{(2)} + e^{2t}w.
Portanto a solução geral é
\mathbf{X}(t) = C_1\,e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + C_2\,e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + C_3\Bigl(t\,e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

\mathbf{X}(t) = C_1\,e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + C_2\,e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + C_3\Bigl(t\,e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr).

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