Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de equações diferenciais
onde
O conteúdo necessário inclui cálculo de autovalores e autovetores de
e, no caso de multiplicidade algébrica maior que a geométrica, uso de autovetores generalizados.
Passo 2
Para encontrar os autovalores resolvemos
. Como
é triangular por blocos, temos
Calculamos o segundo fator:
Logo os autovalores são
Passo 3
Para
resolvemos
. Temos
e o sistema
Da segunda equação
, daí
e
é livre. Um autovetor associado é
Passo 4
Para
resolvemos
com
As equações são
Logo
,
, e há somente um autovetor independente, por exemplo
Como a multiplicidade algébrica é 2 e a geométrica é 1, buscamos um autovetor generalizado
tal que
Escrevendo
e usando
acima, obtém-se
de modo que escolhemos por conveniência
,
,
. Assim
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear de três soluções independentes:
- Para
,
- Para
(autovetor simples),
- Para o autovetor generalizado,
Portanto a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.