Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}10 & -5 \\\\ 8 & -12\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes
\mathbf X' = A\,\mathbf X,
onde
A = \begin{pmatrix}10 & -5 \\[6pt] 8 & -12\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares examinando autovalores e autovetores de A para construir a solução geral.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, montamos o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}10-\lambda & -5 \\[4pt] 8 & -12-\lambda\end{pmatrix} = (10-\lambda)(-12-\lambda)-(-5)\cdot8 = \lambda^2 + 2\lambda - 80.
Logo, o polinômio característico é
\lambda^2 + 2\lambda - 80 = 0.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^2 + 2\lambda - 80 = 0 pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(-80)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{-2 \pm 18}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_1 = 8 e \lambda_2 = -10.

Passo 4

Para \lambda_1 = 8, resolvemos (A - 8I)v=0:
\begin{pmatrix}10-8 & -5 \\[4pt] 8 & -12-8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 8 & -20\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 2v_1 - 5v_2 = 0 vem v_1 = \tfrac{5}{2}v_2. Podemos escolher o autovetor
v^{(1)} = \begin{pmatrix}5\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -10, resolvemos (A + 10I)v=0:
\begin{pmatrix}10+10 & -5 \\[4pt] 8 & -12+10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & -5 \\[4pt] 8 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 20v_1 -5v_2=0 vem v_1=\tfrac{1}{4}v_2. Tomando
v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix},
temos os dois autovetores independentes.]

Passo 6

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções básicas
\mathbf X_1(t)=e^{\lambda_1 t}v^{(1)} e \mathbf X_2(t)=e^{\lambda_2 t}v^{(2)}.

Resposta

\mathbf X(t) = C_1\,e^{8t}\begin{pmatrix}5\\\ 2\end{pmatrix} + C_2\,e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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