Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\frac{d x}{d t}=2 x-7 y, \quad \frac{d y}{d t}=5 x+10 y+4 z, \quad \frac{d z}{d t}=5 y+2 z

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear não homogêneo de EDOs de primeira ordem
\frac{d x}{d t}=2x-7y,\quad \frac{d y}{d t}=5x+10y+4z,\quad \frac{d z}{d t}=5y+2z
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Vamos colocar em forma matricial \mathbf{X}'=A\mathbf{X}, onde
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix} 2 & -7 & 0\\\\ 5 & 10 & 4\\\\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}.
A técnica é achar os autovalores \lambda e os autovetores correspondentes de A, e então montar a solução como combinação linear de \mathrm{e}^{\lambda t} vezes cada autovetor.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -7 & 0\\\\ 5 & 10-\lambda & 4\\\\ 0 & 5 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
(2-\lambda)\bigl[(10-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot5\bigr] -(-7)\bigl[5(2-\lambda)-0\bigr].
Fazendo as contas surge
-\lambda^3+14\lambda^2-59\lambda+70=0,
ou seja
\lambda^3-14\lambda^2+59\lambda-70=0.

Passo 4

Fatorando o polinômio tentamos raízes inteiras e obtemos \lambda=2. Dividindo por \lambda-2 vem
\lambda^2-12\lambda+35=0, cujas raízes são
\lambda=5,\quad \lambda=7.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=5,\quad \lambda_3=7.

Passo 5

Para cada \lambda_i resolvemos (A-\lambda_i I)v=0:
  1. \lambda_1=2:
    (A-2I)=\begin{pmatrix}0&-7&0\\\ 5&8&4\\\ 0&5&0\end{pmatrix} \implies y=0,\;x=-\tfrac45\,z.
    Tomando z=5
    v_1=(-4,0,5).
  2. \lambda_2=5:
    (A-5I)=\begin{pmatrix}-3&-7&0\\\ 5&5&4\\\ 0&5&-3\end{pmatrix} \implies x=-\tfrac73\,y,\;z=\tfrac53\,y.
    Com y=3 fica
    v_2=(-7,3,5).
  3. \lambda_3=7:
    (A-7I)=\begin{pmatrix}-5&-7&0\\\ 5&3&4\\\ 0&5&-5\end{pmatrix} \implies x=-\tfrac75\,y,\;z=y.
    Com y=5 obtém-se
    v_3=(-7,5,5).

Passo 6

A solução geral é combinação linear dos modos \mathrm{e}^{\lambda_i t}v_i. Logo
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} =C_1\,v_1\,\mathrm{e}^{2t} +C_2\,v_2\,\mathrm{e}^{5t} +C_3\,v_3\,\mathrm{e}^{7t},
isto é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} = C_1\begin{pmatrix}-4\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix}\mathrm{e}^{2t} + C_2\begin{pmatrix}-7\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}\mathrm{e}^{5t} + C_3\begin{pmatrix}-7\\\ 5\\\ 5\end{pmatrix}\mathrm{e}^{7t},
com C_1,C_2,C_3 constantes de integração.

Resposta

x(t)=-4C_1\mathrm e^{2t}-7C_2\mathrm e^{5t}-7C_3\mathrm e^{7t},\quad y(t)=0\cdot C_1\mathrm e^{2t}+3C_2\mathrm e^{5t}+5C_3\mathrm e^{7t},\quad z(t)=5C_1\mathrm e^{2t}+5C_2\mathrm e^{5t}+5C_3\mathrm e^{7t}.

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