Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\frac{d x}{d t}=3 x-y, \quad \frac{d y}{d t}=9 x-3 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
\displaystyle \frac{dx}{dt}=3x - y,\quad \frac{dy}{dt}=9x - 3y.
O conteúdo é resolução de sistemas de equações diferenciais lineares, e vamos usar aqui um truque de redução para encontrar uma relação entre x e y.

Passo 2

Observe que
\frac{dy}{dt}=9x-3y=3\,(3x-y)=3\,\frac{dx}{dt}.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl(y-3x\bigr)=\frac{dy}{dt}-3\,\frac{dx}{dt}=0.

Passo 3

Integrando \tfrac{d}{dt}(y-3x)=0 em relação a t, obtemos
y-3x = k,
onde k é constante arbitrária. Portanto
y=3x + k.

Passo 4

Substituindo y=3x+k em \tfrac{dx}{dt}=3x-y resulta
\frac{dx}{dt}=3x-(3x+k)=-k.
Integrando,
x(t)=-k\,t + C,
onde C é uma outra constante de integração.

Passo 5

Agora y(t)=3x(t)+k=3(-k\,t+C)+k=-3k\,t +3C + k. Renomeando as constantes por
C_1 = C,\qquad C_2 = -k,
temos a forma final
x(t)=C_1 + C_2\,t,\quad y(t)=3\,C_1 + C_2\,(3t -1).

Resposta

x(t)=C_1 + C_2\,t,\quad y(t)=3\,C_1 + C_2\,(3t -1), com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

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