O enunciado dá um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e pede que o resolvamos (isto é, encontre a solução geral). As equações fornecidas são:
\frac{dx}{dt}=3x+2y+4z,
\frac{dy}{dt}=2x+0\cdot y+2z,
\frac{dz}{dt}=4x+2y+3z.
Informações relevantes do enunciado:
Temos três incógnitas dependentes do tempo: x(t), y(t), z(t).
Coeficientes são constantes e podemos escrever o sistema na forma matricial \frac{d\mathbf{X}}{dt}=A\mathbf{X}.
O objetivo é encontrar a solução geral \mathbf{X}(t)=(x(t),y(t),z(t))^T.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Definimos o vetor desconhecido
Estratégia de solução (breve explicação didática): para sistemas lineares com matriz constante, uma maneira padrão é procurar soluções do tipo \mathbf{X}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}, onde \lambda e \mathbf{v} satisfazem (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Assim precisamos achar os autovalores \lambda (raízes do polinômio característico) e os autovetores \mathbf{v}.]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos
Observando simetria, tentamos x=z. Substituindo em primeira equação: -5x+2y+4x=-x+2y=0 dá y=\tfrac{x}{2}. Isso satisfaz também as outras duas equações (verificação direta). Assim um autovetor é, escolhendo x=2,
As linhas 1 e 3 são idênticas, e a linha 2 é metade da linha 1, por isso existe um espaço de soluções de dimensão 2 (bom sinal: a multiplicidade geométrica é 2, igual à multiplicidade algébrica). A equação independente é
Observação didática: como a dimensão do espaço próprio associado a \lambda=-1 é 2, que coincide com a multiplicidade algébrica 2, a matriz A é diagonalizável e podemos escrever a solução geral como combinação linear de e^{\lambda t} vezes autovetores.]
Passo 7
Escrevemos a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}. Assim