O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e a força externa em forma de função peça-a-peça. Pergunta-se para encontrar [y(t)) usando transformada de Laplace.
Primeiro vamos escrever g(t) usando a função degrau (Heaviside) para poder aplicar a transformada facilmente. A forma padrão é
g(t)=t\bigl(1-u(t-\pi)\bigr)=t - t\,u(t-\pi).
Explico isso rapidinho: u(t-\pi) vale 0 para t<\pi e 1 para t\ge\pi. Assim para t<\pi temos g(t)=t e para t\ge\pi temos g(t)=t-t=0, que bate com o enunciado.
Passo 3
Agora calculamos a transformada de Laplace de g(t). Vou usar duas propriedades que são fundamentais:
PelA propriedade do deslocamento inverso: a transformada inversa de e^{-\pi s}F(s) é u(t-\pi)f(t-\pi) onde f=\mathcal{L}^{-1}\{F\}. Portanto, em domínio do tempo teremos
Vou calcular f_{1} e f_{2} explicitamente por frações parciais no domínio s — é um pouco de álgebra, mas fica explícito e dá uma fórmula fechada que dá para usar na prova.
f_{3}(t)=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}e^{-t/2}\cos t-\frac{2}{5}e^{-t/2}\sin t.
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f_{2}(t)=f_{1}(t)+\pi f_{3}(t).
Para facilitar leitura, escrevo f_{2}(t) expandido:
\begin{aligned} f_{2}(t) &=\frac{4}{5}t+\frac{20\pi-16}{25} +\frac{16-20\pi}{25}e^{-t/2}\cos t -\frac{12+10\pi}{25}e^{-t/2}\sin t. \end{aligned}
Passo 8
Recapitulando a forma final usando o deslocamento temporal:
y(t)=f_{1}(t)-u(t-\pi)\,f_{2}(t-\pi).
Isto gera a solução peça-a-peça (porque para t<\pi o degrau anula a segunda parcela, e para t\ge\pi subtrai-se f_{2} deslocado). Escrevo explicitamente as duas regiões.
Para 0\le t<\pi:
y(t)=-\frac{16}{25}+\frac{4}{5}t+\frac{16}{25}e^{-t/2}\cos t-\frac{12}{25}e^{-t/2}\sin t.