Informações relevantes extraídas do enunciado que vou usar: os pontos singulares são as raízes de z^{4}+1=0; a posição relativa dessas raízes ao semicírculo depende do valor de R (se R>1 as raízes de módulo 1 ficam dentro de D_R, se R<1 ficam fora, e se R=1 algumas ficam sobre a fronteira).
Passo 2
Vamos encontrar as raízes de
z^{4}+1=0\quad\Longleftrightarrow\quad z^{4}=-1.
Escrevendo -1 em forma exponencial temos -1=e^{i(\pi+2\pi k)}. Logo as soluções são
z = e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k)},\qquad k=0,1,2,3.
Observação: todas têm |z_k|=1. Portanto as singularidades de f são exatamente os quatro pontos z_{0},z_{1},z_{2},z_{3} acima.
Passo 3
Classificação das singularidades: como f(z)=1/(z^{4}+1), cada raiz z_k é um pólo de ordem igual à multiplicidade da raiz de z^{4}+1. A função z^{4}+1 tem derivada
\frac{d}{dz}(z^{4}+1)=4z^{3}.
Em cada z_k temos z_k\neq0, logo 4z_k^{3}\neq0. Portanto cada raiz é simples (multiplicidade 1) e cada singularidade é um pólo simples. Conclusão: as quatro singularidades listadas são pólos simples.
Explicação curta do porquê: para um pólo simples z_0 a forma local é \frac{A}{z-z_0}+analítica e o resíduo é A=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z). Outro jeito rápido: para f(z)=g(z)/h(z) com h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0, tem-se \operatorname{Res}(f,z_0)=g(z_0)/h'(z_0). Aqui g\equiv1 e h(z)=z^{4}+1.
Passo 4
Cálculo dos resíduos nos pólos simples. Usando a fórmula mencionada,
Identificamos quais z_k estão dentro de D_{R} conforme R:
Se R>1: os dois pólos com \operatorname{Im}z>0, isto é z_{0}=e^{i\pi/4} e z_{1}=e^{i3\pi/4}, ficam estritamente dentro do semicírculo fechado D_R.
Se R<1: nenhum dos quatro pólos está dentro (todos têm módulo 1 e ficam fora do interior).
Se R=1: alguns pólos ficam sobre a fronteira \gamma_R e a integral de contorno habitual não é imediatamente definida sem tratamento especial (não considerado aqui).
Agora calculemos explicitamente a soma dos resíduos dos pólos no semicírculo superior (caso R>1):
Se 0<R<1: nenhum pólo está dentro, a soma de resíduos é 0, logo
\oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz=0.
Se R=1: a fronteira \gamma_{R} passa por pontos singulares (pólos em |z|=1), então a integral ao longo dessa fronteira não é bem definida pelo teorema dos resíduos sem um tratamento adicional (por exemplo deformação do contorno ou interpretação em valor principal). Portanto não podemos aplicar diretamente o teorema dos resíduos nesse caso.