Seja f a função definida por
f(z)=\frac{1}{z^{4}+1}
(a) Determine e classifique as singularidades de f.
(b) Utilize o teorema dos resíduos para calcular
\oint_{\gamma_{R}} \frac{1}{z^{4}+1} d z,
onde \gamma_{R} é a fronteira do semicírculo
D_{R}=\{z \in \mathbb{C}:|z| \leq R, \operatorname{Im} z \geq 0\},

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{1}{z^{4}+1}
e pede duas coisas:
  • (a) determinar e classificar as singularidades de f;
  • (b) calcular, usando o teorema dos resíduos,
\oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz,
onde \gamma_{R} é a fronteira orientada positivamente do semicírculo
D_{R}=\{z\in\mathbb{C}:|z|\le R,\\ \operatorname{Im}z\ge0\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado que vou usar: os pontos singulares são as raízes de z^{4}+1=0; a posição relativa dessas raízes ao semicírculo depende do valor de R (se R>1 as raízes de módulo 1 ficam dentro de D_R, se R<1 ficam fora, e se R=1 algumas ficam sobre a fronteira).

Passo 2

Vamos encontrar as raízes de
z^{4}+1=0\quad\Longleftrightarrow\quad z^{4}=-1.
Escrevendo -1 em forma exponencial temos -1=e^{i(\pi+2\pi k)}. Logo as soluções são
z = e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k)},\qquad k=0,1,2,3.
Escrevendo explicitamente:
\begin{aligned} z_{0}&=e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt{2}},\\\ z_{1}&=e^{i3\pi/4}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}},\\\ z_{2}&=e^{i5\pi/4}=\frac{-1-i}{\sqrt{2}},\\\ z_{3}&=e^{i7\pi/4}=\frac{1-i}{\sqrt{2}}. \end{aligned}
Observação: todas têm |z_k|=1. Portanto as singularidades de f são exatamente os quatro pontos z_{0},z_{1},z_{2},z_{3} acima.

Passo 3

Classificação das singularidades: como f(z)=1/(z^{4}+1), cada raiz z_k é um pólo de ordem igual à multiplicidade da raiz de z^{4}+1. A função z^{4}+1 tem derivada
\frac{d}{dz}(z^{4}+1)=4z^{3}.
Em cada z_k temos z_k\neq0, logo 4z_k^{3}\neq0. Portanto cada raiz é simples (multiplicidade 1) e cada singularidade é um pólo simples. Conclusão: as quatro singularidades listadas são pólos simples.
Explicação curta do porquê: para um pólo simples z_0 a forma local é \frac{A}{z-z_0}+analítica e o resíduo é A=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z). Outro jeito rápido: para f(z)=g(z)/h(z) com h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0, tem-se \operatorname{Res}(f,z_0)=g(z_0)/h'(z_0). Aqui g\equiv1 e h(z)=z^{4}+1.

Passo 4

Cálculo dos resíduos nos pólos simples. Usando a fórmula mencionada,
\operatorname{Res}\bigl(f,z_k\bigr)=\frac{1}{h'(z_k)}=\frac{1}{4z_k^{3}}.
Identificamos quais z_k estão dentro de D_{R} conforme R:
  • Se R>1: os dois pólos com \operatorname{Im}z>0, isto é z_{0}=e^{i\pi/4} e z_{1}=e^{i3\pi/4}, ficam estritamente dentro do semicírculo fechado D_R.
  • Se R<1: nenhum dos quatro pólos está dentro (todos têm módulo 1 e ficam fora do interior).
  • Se R=1: alguns pólos ficam sobre a fronteira \gamma_R e a integral de contorno habitual não é imediatamente definida sem tratamento especial (não considerado aqui).
Agora calculemos explicitamente a soma dos resíduos dos pólos no semicírculo superior (caso R>1):
\begin{aligned} \operatorname{Res}(f,z_{0})&=\frac{1}{4z_{0}^{3}},\\\ \operatorname{Res}(f,z_{1})&=\frac{1}{4z_{1}^{3}}. \end{aligned}
Note que z_{0}^{3}=e^{i3\pi/4}=z_{1} e z_{1}^{3}=e^{i9\pi/4}=e^{i\pi/4}=z_{0}. Assim
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{4z_{1}},\qquad \operatorname{Res}(f,z_{1})=\frac{1}{4z_{0}}.
Somando:
\operatorname{Res}(f,z_{0})+\operatorname{Res}(f,z_{1}) =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{z_{0}}+\frac{1}{z_{1}}\Bigr).
Como z_{0} e z_{1} têm módulo 1, 1/z_k=\overline{z_k}. Calculamos
\frac{1}{z_{0}}+\frac{1}{z_{1}}=\overline{z_{0}}+\overline{z_{1}} =\frac{1-i}{\sqrt{2}}+\frac{-1-i}{\sqrt{2}}=\frac{-2i}{\sqrt{2}}=-i\sqrt{2}.
Portanto
\operatorname{Res}(f,z_{0})+\operatorname{Res}(f,z_{1})=\frac{-i\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos: se o contorno \gamma_{R} é a fronteira orientada positivamente do domínio D_R e não passa por singularidades, então
\oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz=2\pi i\sum_{\text{pólos dentro de }D_R}\operatorname{Res}(f,\cdot).ó
Casos:
  • Se R>1: os pólos dentro de D_R são z_{0} e z_{1}. Assim
\oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz =2\pi i\left(\frac{-i\sqrt{2}}{4}\right) =2\pi i\cdot\left(-i\right)\frac{\sqrt{2}}{4} =2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{4} =\frac{\pi\sqrt{2}}{2}.
(Usei i(-i)=1.)
  • Se 0<R<1: nenhum pólo está dentro, a soma de resíduos é 0, logo
\oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz=0.
  • Se R=1: a fronteira \gamma_{R} passa por pontos singulares (pólos em |z|=1), então a integral ao longo dessa fronteira não é bem definida pelo teorema dos resíduos sem um tratamento adicional (por exemplo deformação do contorno ou interpretação em valor principal). Portanto não podemos aplicar diretamente o teorema dos resíduos nesse caso.

Resposta

(a) As singularidades são os quatro pólos simples
z=e^{i(\pi/4+\pi k/2)}=\frac{\pm1\pm i}{\sqrt{2}}\quad(k=0,1,2,3).
(b) Para a integral sobre \gamma_{R}:
\text{se }R>1:\quad \oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz=\frac{\pi\sqrt{2}}{2},
\text{se }0<R<1:\quad \oint_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{4}+1}\,dz=0,
\text{se }R=1:\quad \text{a integral não é diretamente definida porque a fronteira passa por singularidades.}ãé

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