Use o Teorema de Green para calcular
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
sendo:
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}(x,y)= -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} e C sendo o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha num fluxo de giro (curl) sobre a região interna D limitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=-y e Q(x,y)=x.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Assim a integral de linha vira
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} 2\,dA.
Aqui D é o disco de raio 2, de área \pi\cdot2^2=4\pi.

Passo 5

Portanto,
\iint_{D}2\,dA = 2 \times (\text{área de }D) = 2 \times 4\pi = 8\pi.á

Resposta

\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 8\pi.

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