Use o Teorema de Green para calcular
,
sendo:
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.
\mathbf{F}(x, y)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
e C o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
para
e
sendo o círculo de raio
centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha num fluxo de giro (curl) sobre a região interna limitada por
.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha num fluxo de giro (curl) sobre a região interna
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
onde
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
Assim a integral de linha vira
Aqui
é o disco de raio
, de área
.
Passo 5
Portanto,