As soluções equação x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1 formam uma elipse de área igual a a b \pi.
(a) Mostre que o gráfico de \mathbf{r}(t)=(a \cos (t), b \operatorname{sen}(t)), com t \in[0,2 \pi], descreve a elipse.
(b) Usando a fórmula para calcular comprimento de arco, mostre que o perímetro da elipse é igual ao resultado da integral
\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(a \sin t)^{2}+(b \cos t)^{2}} d t
(c) Encontre algum método para calcular o perímetro da elipse com precisão de 3 casas decimais para o caso a=3 e b=2.
(d) Desenhe a elipse tomando a=3 e b=2.

Passo 1

O enunciado trata da elipse dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
cuja área é \pi ab. Pediu-se:
(a) mostrar que a parametrização \mathbf{r}(t) = (a\cos t,\;b\operatorname{sen} t) com t\in[0,2\pi] percorre exatamente essa elipse;
(b) usar a fórmula de comprimento de arco para obter
L \;=\;\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(a\sin t)^{2}+(b\cos t)^{2}}\;dt;
(c) encontrar um método para calcular numericamente esse perímetro com 3 casas decimais quando a=3 e b=2;
(d) desenhar a elipse para a=3, b=2.
Vamos usar teoria de curvas paramétricas (derivadas, norma do vetor velocidade), simetria do integrando e regra de Simpson ou fórmula aproximada de Ramanujan para o perímetro.

Passo 2

Para ver que \mathbf{r}(t) está na elipse, basta verificar que suas coordenadas satisfazem a equação:
se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(a\cos t,b\operatorname{sen} t), então
\frac{x(t)^{2}}{a^{2}}+\frac{y(t)^{2}}{b^{2}} =\frac{a^{2}\cos^{2}t}{a^{2}}+\frac{b^{2}\operatorname{sen}^{2}t}{b^{2}} =\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t =1.
Como t varia de 0 a 2\pi, \mathbf{r}(t) percorre toda a elipse uma vez, graças à periodicidade de seno e cosseno.

Passo 3

A fórmula de comprimento de arco de uma curva paramétrica \mathbf{r}(t), t\in[\alpha,\beta], é
L=\int_{\alpha}^{\beta}\bigl\|\mathbf{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui
\mathbf{r}\,'(t)=\bigl(-a\operatorname{sen} t,\;b\cos t\bigr),
\|\mathbf{r}\,'(t)\| =\sqrt{(-a\operatorname{sen} t)^{2}+(b\cos t)^{2}} =\sqrt{a^{2}\operatorname{sen}^{2}t + b^{2}\cos^{2}t}.
Logo,
L =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\operatorname{sen}^{2}t + b^{2}\cos^{2}t}\;dt,
que é exatamente o que se pedia em (b).

Passo 4

Usando a simetria de período \pi e paridade do integrando, pode-se reescrever
L =4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{a^{2}\operatorname{sen}^{2}t + b^{2}\cos^{2}t}\;dt.
Em teoria de funções elípticas, isso é
L=4\,a\,E(e), \quad e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}},
onde
E(e)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-e^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\;dt
é o integral elíptico completo de segunda espécie.

Passo 5

Para a=3, b=2 temos
e=\sqrt{1-\frac{2^{2}}{3^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.
Assim
L=4\cdot3\;E\bigl(\tfrac{\sqrt5}{3}\bigr)=12\,E\bigl(\tfrac{\sqrt5}{3}\bigr).
Duas formas de obter o valor numérico a 3 casas:
  1. Regra de Simpson em
    \displaystyle4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\operatorname{sen}^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt. Com n=4 subintervalos obtém-se L\approx15,868.
  2. Fórmula aproximada de Ramanujan
L\approx \pi\Bigl[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\Bigr] =\pi\bigl[15-\sqrt{99}\bigr]\approx15,867.
Em ambos os casos chega-se a
L\approx15,868
(com três casas decimais).

Passo 6

Para desenhar a elipse com a=3, b=2:
– Marque no plano os pontos (\pm3,0) e (0,\pm2).
– Como a curva é simétrica em relação aos eixos x e y, basta esboçar um arco suave unindo (3,0) a (0,2) e refletir nos quatro quadrantes.
– O resultado é um oval centralizado na origem, esticado horizontalmente.

Resposta

(a) A parametrização \mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\operatorname{sen} t) satisfaz \tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 e, para t\in[0,2\pi], percorre toda a elipse.
(b) Pelo comprimento de arco de curvas paramétricas,
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\operatorname{sen}^{2}t + b^{2}\cos^{2}t}\;dt.
(c) Para a=3, b=2, usa-se, por exemplo, Simpson ou a fórmula de Ramanujan e obtém-se
L\approx15,868.
(d) O esboço é um oval com interceptos (\pm3,0), (0,\pm2), simétrico em ambos os eixos.

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