As soluções equação x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1 formam uma elipse de área igual a a b \pi.
(a) Mostre que o gráfico de \mathbf{r}(t)=(a \cos (t), b \operatorname{sen}(t)), com t \in[0,2 \pi], descreve a elipse.
(b) Usando a fórmula para calcular comprimento de arco, mostre que o perímetro da elipse é igual ao resultado da integral
\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(a \sin t)^{2}+(b \cos t)^{2}} d t
(c) Encontre algum método para calcular o perímetro da elipse com precisão de 3 casas decimais para o caso a=3 e b=2.
(d) Desenhe a elipse tomando a=3 e b=2.
Passo 1
O enunciado trata da elipse dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
cuja área é \pi ab. Pediu-se:
(a) mostrar que a parametrização \mathbf{r}(t) = (a\cos t,\;b\operatorname{sen} t) com t\in[0,2\pi] percorre exatamente essa elipse;
(b) usar a fórmula de comprimento de arco para obter
L \;=\;\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(a\sin t)^{2}+(b\cos t)^{2}}\;dt;
(c) encontrar um método para calcular numericamente esse perímetro com 3 casas decimais quando a=3 e b=2;
(d) desenhar a elipse para a=3, b=2.
Vamos usar teoria de curvas paramétricas (derivadas, norma do vetor velocidade), simetria do integrando e regra de Simpson ou fórmula aproximada de Ramanujan para o perímetro.
Passo 2
Para ver que \mathbf{r}(t) está na elipse, basta verificar que suas coordenadas satisfazem a equação:
se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(a\cos t,b\operatorname{sen} t), então
Para desenhar a elipse com a=3, b=2:
– Marque no plano os pontos (\pm3,0) e (0,\pm2).
– Como a curva é simétrica em relação aos eixos x e y, basta esboçar um arco suave unindo (3,0) a (0,2) e refletir nos quatro quadrantes.
– O resultado é um oval centralizado na origem, esticado horizontalmente.
Resposta
(a) A parametrização \mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\operatorname{sen} t) satisfaz \tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 e, para t\in[0,2\pi], percorre toda a elipse.
(b) Pelo comprimento de arco de curvas paramétricas,