Questão 1:
b) (valor 0,5 ) Resolva utilizando equações auxiliares:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede para resolvê-la utilizando equações auxiliares (ou característica). Não foram dadas condições iniciais, portanto o objetivo é encontrar a solução geral, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia básica (por que usar a equação auxiliar). Procura-se uma solução do tipo
porque exponenciais têm a propriedade conveniente de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas:
Substituindo essas expressões na equação diferencial, obtém-se uma condição para
(a chamada equação auxiliar ou característica). Vamos fazer isso: substituir na equação original dá
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação polinomial em
:
Passo 3
Resolver a equação característica usando a fórmula quadrática. Para a função quadrática
calculamos o discriminante
:
O discriminante é negativo, então as raízes serão complexas. Aplicando a fórmula quadrática:
Escrevendo
, obtemos
Passo 4
Interpretação das raízes complexas e forma da solução geral. Quando a equação característica tem duas raízes complexas conjugadas da forma
a solução geral real da equação diferencial homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Essa forma vem da identidade de Euler
que permite escrever
e combinar as partes real e imaginária em soluções reais independentes.
No nosso caso temos
e
. Portanto a solução geral é
com
.
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivar
,
e
e verificar que a combinação dá zero. Seja
Derivando usando a regra do produto:
Reagrupando termos em
:
Derivando novamente (novamente produto + derivadas das trigonométricas) e simplificando obtém-se, após reunir os coeficientes, que
ou seja, a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (os detalhes algébricos são rotina: as combinações de
e
e dos coeficientes em
cancelam exatamente quando
e a parte exponencial tem fator
, que são os valores que usamos).
Passo 6
Resumo final e dicas de prova. Sempre que aparecer uma equação linear homogênea de coeficientes constantes de ordem
, faça:
- Assuma
. - Monte a equação característica
. - Resolva para
. Se as raízes forem reais distintas, use ; se reais iguais, multiplique por para obter a segunda solução; se complexas , escreva .
Aplicando isso aqui chegamos à solução geral abaixo.