Questão 1:

b) (valor 0,5 ) Resolva utilizando equações auxiliares:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+7 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+7y=0
e pede para resolvê-la utilizando equações auxiliares (ou característica). Não foram dadas condições iniciais, portanto o objetivo é encontrar a solução geral, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia básica (por que usar a equação auxiliar). Procura-se uma solução do tipo
y=e^{rx},
porque exponenciais têm a propriedade conveniente de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas:
y' = r e^{rx},\qquad y''=r^{2}e^{rx}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial, obtém-se uma condição para r (a chamada equação auxiliar ou característica). Vamos fazer isso: substituir na equação original dá
r^{2}e^{rx}+4r e^{rx}+7 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação polinomial em r:
r^{2}+4r+7=0.

Passo 3

Resolver a equação característica usando a fórmula quadrática. Para a função quadrática r^{2}+4r+7 calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot7 = 16-28 = -12.
O discriminante é negativo, então as raízes serão complexas. Aplicando a fórmula quadrática:
r = \frac{-4\pm\sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-4\pm\sqrt{-12}}{2}.
Escrevendo \sqrt{-12}=\sqrt{12}\,i=2\sqrt{3}\,i, obtemos
r = \frac{-4\pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = -2\pm i\sqrt{3}.

Passo 4

Interpretação das raízes complexas e forma da solução geral. Quando a equação característica tem duas raízes complexas conjugadas da forma
r_{1,2}=a\pm ib,
a solução geral real da equação diferencial homogênea é
y(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Essa forma vem da identidade de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
que permite escrever e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)) e combinar as partes real e imaginária em soluções reais independentes.
No nosso caso temos a=-2 e b=\sqrt{3}. Portanto a solução geral é
y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{3}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{3}\,x)\big),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivar y, y' e y'' e verificar que a combinação dá zero. Seja
y=e^{-2x}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big)\quad\text{com}\quad b=\sqrt{3}.
Derivando usando a regra do produto:
y' = -2e^{-2x}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big) + e^{-2x}\big(-C_{1}b\sin(bx)+C_{2}b\cos(bx)\big).
Reagrupando termos em e^{-2x}:
y' = e^{-2x}\big[(-2C_{1}+bC_{2})\cos(bx)+(-2C_{2}-bC_{1})\sin(bx)\big].
Derivando novamente (novamente produto + derivadas das trigonométricas) e simplificando obtém-se, após reunir os coeficientes, que
y''+4y'+7y = 0,
ou seja, a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (os detalhes algébricos são rotina: as combinações de \cos e \sin e dos coeficientes em C_{1},C_{2} cancelam exatamente quando b^{2}=3 e a parte exponencial tem fator -2, que são os valores que usamos).

Passo 6

Resumo final e dicas de prova. Sempre que aparecer uma equação linear homogênea de coeficientes constantes de ordem 2, faça:
  1. Assuma y=e^{rx}.
  2. Monte a equação característica r^{2}+(\text{coef de }y')\,r+(\text{coef de }y)=0.
  3. Resolva para r. Se as raízes forem reais distintas, use e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}; se reais iguais, multiplique por x para obter a segunda solução; se complexas a\pm ib, escreva e^{ax}(\cos bx,\sin bx).
    Aplicando isso aqui chegamos à solução geral abaixo.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{3}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{3}\,x)\big),\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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