Questão 3
Resolver a equação
.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Precisamos então: encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usar o método dos coeficientes não determinados para achar uma solução particular que anule o lado direito, e combinar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
formando a equação característica
, que fatoriza como
. Logo temos raiz dupla
e a solução homogênea é
com
e
constantes.
Passo 3
Para a parte particular, como o termo forçante é
, fazemos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação original
.
Passo 4
Ao substituir, agrupamos os termos em
e
:
Isto gera o sistema
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 5
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{5}{169}\cos(2x) - \frac{12}{169}\sin(2x)