Questão 3

Resolver a equação y^prime prime-6 y^prime+9 y=cos (2 x).

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Precisamos então: encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usar o método dos coeficientes não determinados para achar uma solução particular que anule o lado direito, e combinar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''-6y'+9y=0
formando a equação característica r^2-6r+9=0, que fatoriza como (r-3)^2=0. Logo temos raiz dupla r=3 e a solução homogênea é
yh=(C1 + C2 x)e^3x,
com C1 e C2 constantes.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é cos(2x), fazemos o palpite
yp = Acos(2x) + Bsin(2x)
Calculamos as derivadas:
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp'' = -4Acos(2x) -4Bsin(2x)
Substituímos na equação original y''-6y'+9y=cos(2x).

Passo 4

Ao substituir, agrupamos os termos em cos(2x) e sin(2x):
(5A -12B)cos(2x) + (12A +5B)sin(2x) = cos(2x)
Isto gera o sistema
5A-12B=1, 12A+5B=0
Resolvendo, obtemos A=5/169 e B=-12/169.

Passo 5

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = (C1 + C2 x)e^3x + 5169cos(2x) - 12169sin(2x)

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{5}{169}\cos(2x) - \frac{12}{169}\sin(2x)

Exercícios relacionados