Usando o método de transformada de Laplace, resolver o problema seguinte :
Passo 1
A equação é uma EDO linear homogênea com condições iniciais, e vamos usar a transformada de Laplace para resolver. Precisamos lembrar das fórmulas de transformada de derivadas e de como usar as condições iniciais para montar uma equação em Y(s).
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambas as parcelas da EDO:
Ly''-3Ly'-4Ly=0
Usando Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0), obtemos:
(s^2Y(s)-scdot1-0)-3(sY(s)-1)-4Y(s)=0
Passo 3
Reorganizando e agrupando termos em Y(s):
(s^2-3s-4)Y(s)=s-3
Logo:
Y(s)=s-3(s-4)(s+1)
Passo 4
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais:
s-3(s-4)(s+1)=As-4+Bs+1
Resolvendo:
A+B=1,
A-4B=-3
Daí B=4/5 e A=1/5, então
Y(s)=1/5s-4+4/5s+1
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo: