Questão 2

Usando o método de transformada de Laplace, resolver o problema seguinte :
l y^prime prime-3 y^prime-4 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0

Passo 1

A equação é uma EDO linear homogênea com condições iniciais, e vamos usar a transformada de Laplace para resolver. Precisamos lembrar das fórmulas de transformada de derivadas e de como usar as condições iniciais para montar uma equação em Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambas as parcelas da EDO:
Ly''-3Ly'-4Ly=0
Usando Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0), obtemos:
(s^2Y(s)-scdot1-0)-3(sY(s)-1)-4Y(s)=0

Passo 3

Reorganizando e agrupando termos em Y(s):
(s^2-3s-4)Y(s)=s-3
Logo:
Y(s)=s-3(s-4)(s+1)

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais:
s-3(s-4)(s+1)=As-4+Bs+1
Resolvendo:
A+B=1,
A-4B=-3
Daí B=4/5 e A=1/5, então
Y(s)=1/5s-4+4/5s+1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:
L^-11/(s-4)=e^4t,
L^-11/(s+1)=e^-t
Logo a solução é
y(t)=15e^4t+45e^-t

Resposta

y(t)=tfrac15e^4t+tfrac45e^-t

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