Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+3 y^prime=0 y(0)=-2 y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
y'' + 3 y' = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação, precisamos encontrar as derivadas:
y = e^rt
y' = r e^rt
Agora, colocamos essas derivadas na equação original:
y'' = r^2 e^rt
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 3 r e^rt = 0
Portanto, a equação característica é:
e^rt

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
r^2 + 3r = 0
r(r + 3) = 0
Isso nos dá duas soluções para $ r $:
r
Como a equação tem duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = 0 e r2 = -3

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $:
  1. $ y(0) = -2 $:
C1
  1. $ y’(0) = 3 $:
Primeiro, encontramos $ y’(t) $:
C2
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = -2
Substituindo $ C_2 = -1 $ na primeira equação:
-2 = C1 + C2 e^0 implies -2 = C1 + C2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -1 - e^-3t

Exercícios relacionados