Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente assume uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos descobrir.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação, precisamos encontrar as derivadas:
Agora, colocamos essas derivadas na equação original:
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá duas soluções para $ r $:
Como a equação tem duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $:
- $ y(0) = -2 $:
- $ y’(0) = 3 $:
Primeiro, encontramos $ y’(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Substituindo $ C_2 = -1 $ na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: