Questão 8. Sejam S1=sumn=0^infty 5^n^2-2 n+66^n^2-4 n+2 e S2= sumn=0^infty 7^n^3-3 n-16^n^3-2 n+1. Assinale a alternativa correta:
S1 e S2 convergem.

Passo 1

O enunciado define duas séries infinitas:
S₁=∑_{n=0}^∞ \frac{5{n²−2n+6}}{6{n²−4n+2}} e
S₂=∑_{n=0}^∞ \frac{7{n³−3n−1}}{6{n³−2n+1}}.
O conteúdo principal é testar a convergência de séries com termos gerais exponenciais, e vamos usar o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Para S₁, chamando o termo geral de aₙ, reescrevemos os expoentes agrupando em n², n e constantes:
aₙ=5^n²−2n+66^n²−4n+2=(tfrac56)^n²,(tfrac6^45^2)^n,(tfrac5^66^2)²²²
Aplicando o teste da raiz:
limn→∞aₙ^1/n=limn→∞(tfrac56)^n,(tfrac6^45^2),(tfrac5^66^2)^1/n=0<1
Logo S₁ converge absolutamente.

Passo 3

Para S₂, chamando o termo geral de bₙ, fazemos o mesmo agrupamento:
bₙ=7^n³−3n−16^n³−2n+1=(tfrac76)^n³,(tfrac6^27^3)^n,(tfrac17,6)³³³
No teste da raiz:
limn→∞bₙ^1/n=limn→∞(tfrac76)^n^2,(tfrac6^27^3),(tfrac17,6)^1/n=+∞>1
Isso significa que bₙ não tende a zero e a série diverge.

Passo 4

Concluímos que somente S₁ converge e S₂ diverge.

Resposta

Somente S₁ converge e S₂ diverge.

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