Questão 8. Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
e
convergem.
Passo 1
O enunciado define duas séries infinitas:
S₁=∑_{n=0}^∞ \frac{5{n²−2n+6}}{6{n²−4n+2}} e
S₂=∑_{n=0}^∞ \frac{7{n³−3n−1}}{6{n³−2n+1}}.
O conteúdo principal é testar a convergência de séries com termos gerais exponenciais, e vamos usar o teste da raiz n-ésima.
S₁=∑_{n=0}^∞ \frac{5{n²−2n+6}}{6{n²−4n+2}} e
S₂=∑_{n=0}^∞ \frac{7{n³−3n−1}}{6{n³−2n+1}}.
O conteúdo principal é testar a convergência de séries com termos gerais exponenciais, e vamos usar o teste da raiz n-ésima.
Passo 2
Para S₁, chamando o termo geral de aₙ, reescrevemos os expoentes agrupando em n², n e constantes:
Aplicando o teste da raiz:
Logo S₁ converge absolutamente.
Passo 3
Para S₂, chamando o termo geral de bₙ, fazemos o mesmo agrupamento:
No teste da raiz:
Isso significa que bₙ não tende a zero e a série diverge.
Passo 4
Concluímos que somente S₁ converge e S₂ diverge.
Resposta
Somente S₁ converge e S₂ diverge.