Questão 1. Responda as questões abaixo:
Existem dois métodos de estimação de parâmetros. Quais são? Qual é o melhor? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos dois métodos clássicos de estimação de parâmetros em estatística inferencial, e perguntar qual deles é superior e por quê. Para isso vamos usar conceitos de consistência, viés, eficiência e propriedades assintóticas dos estimadores.

Passo 2

Método dos momentos
A ideia é igualar momentos amostrais aos momentos teóricos da distribuição. Suponha que temos n observações independentes X1,dots,Xn de densidade f(x;theta). O k-ésimo momento amostral é
mk = 1nsumi=1^n Xi^k,
e o k-ésimo momento teórico é muk(theta) = E[X^k;theta]. Para estimar um parâmetro vetor theta=(theta1,dots,thetap), igualamos
m1 = mu1(theta), m2 = mu2(theta), dots, mp = mup(theta)
e resolvemos esse sistema para obter o estimador por momentos hatthetaMM. É fácil de calcular, mas em geral não é eficiente, pois nem sempre atinge o limite inferior de Cramér–Rao.

Passo 3

Método da máxima verossimilhança
Aqui escrevemos a função de verossimilhança
L(theta) = prodi=1^n f(Xi;theta)
e buscamos
hatthetaMV = argmaxtheta L(theta)
ou equivalentemente maximizando a log-verossimilhança
ell(theta) = sumi=1^n ln f(Xi;theta)
Em geral resolvemos partial ell/partialtheta = 0. Sob condições regulares, o estimador de máxima verossimilhança é consistente, assintoticamente não viesado e eficiente (atinge o limite de Cramér–Rao) e possui a propriedade de invariância ( g(hattheta) é MLE de g(theta)).

Passo 4

Comparação e conclusão
  • Consistência: ambos são consistentes sob condições razoáveis.
  • Viés: MLE é assintoticamente não viesado; método dos momentos pode ter viés persistente.
  • Eficiência: somente a MLE atinge, assintoticamente, o menor variância possível (limite de Cramér–Rao).
  • Invariância: MLE é invariante a transformações de parâmetros; método dos momentos não necessariamente.
    Logo, o melhor método é o de máxima verossimilhança, por oferecer estimadores com propriedades ótimas (eficiência assintótica, invariância e bom comportamento em grandes amostras).

Resposta

Os dois métodos são o método dos momentos e o método da máxima verossimilhança.
O melhor é o método da máxima verossimilhança, pois sob condições regulares ele produz estimadores consistentes, assintoticamente não viesados, eficientes (atingem o limite de Cramér–Rao) e invariantes a transformações de parâmetros.

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