Questão 1. Responda as questões abaixo:
Existem dois métodos de estimação de parâmetros. Quais são? Qual é o melhor? Por quê?
Existem dois métodos de estimação de parâmetros. Quais são? Qual é o melhor? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos dois métodos clássicos de estimação de parâmetros em estatística inferencial, e perguntar qual deles é superior e por quê. Para isso vamos usar conceitos de consistência, viés, eficiência e propriedades assintóticas dos estimadores.
Passo 2
Método dos momentos
A ideia é igualar momentos amostrais aos momentos teóricos da distribuição. Suponha que temos observações independentes
de densidade
. O
-ésimo momento amostral é
A ideia é igualar momentos amostrais aos momentos teóricos da distribuição. Suponha que temos
e o
-ésimo momento teórico é
. Para estimar um parâmetro vetor
, igualamos
e resolvemos esse sistema para obter o estimador por momentos
. É fácil de calcular, mas em geral não é eficiente, pois nem sempre atinge o limite inferior de Cramér–Rao.
Passo 3
Método da máxima verossimilhança
Aqui escrevemos a função de verossimilhança
Aqui escrevemos a função de verossimilhança
e buscamos
ou equivalentemente maximizando a log-verossimilhança
Em geral resolvemos
. Sob condições regulares, o estimador de máxima verossimilhança é consistente, assintoticamente não viesado e eficiente (atinge o limite de Cramér–Rao) e possui a propriedade de invariância (
é MLE de
).
Passo 4
Comparação e conclusão
- Consistência: ambos são consistentes sob condições razoáveis.
- Viés: MLE é assintoticamente não viesado; método dos momentos pode ter viés persistente.
- Eficiência: somente a MLE atinge, assintoticamente, o menor variância possível (limite de Cramér–Rao).
- Invariância: MLE é invariante a transformações de parâmetros; método dos momentos não necessariamente.
Logo, o melhor método é o de máxima verossimilhança, por oferecer estimadores com propriedades ótimas (eficiência assintótica, invariância e bom comportamento em grandes amostras).
Resposta
Os dois métodos são o método dos momentos e o método da máxima verossimilhança.
O melhor é o método da máxima verossimilhança, pois sob condições regulares ele produz estimadores consistentes, assintoticamente não viesados, eficientes (atingem o limite de Cramér–Rao) e invariantes a transformações de parâmetros.
O melhor é o método da máxima verossimilhança, pois sob condições regulares ele produz estimadores consistentes, assintoticamente não viesados, eficientes (atingem o limite de Cramér–Rao) e invariantes a transformações de parâmetros.